Номер 115, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

115. Параллельные прямые $a, b, c$ пересекают стороны угла $MNP$ (рис. 60). Найдите отрезки $BE$ и $CF$, если $AN = 2$ см, $NC = 3$ см, $DF = 9$ см, $AB = 4$ см.

Рис. 60

115. Параллельные прямые $a$, $b$ и $c$ пересекают стороны угла $MNP$ (рис. 60). Найдите отрезки $BE$ и $CF$, если $AN = 2$ см, $NC = 3$ см, $DF = 9$ см, $AB = 4$ см.

Рис. 60

Для решения задачи используется теорема о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса). Согласно этой теореме, если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, отсекаемые на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, отсекаемым на другой стороне угла.

По условию, прямые $a, b, c$ параллельны ($a \parallel b \parallel c$) и пересекают стороны угла $MNP$. Следовательно, справедливо соотношение пропорциональности для отрезков на сторонах $NM$ и $NP$: $ AN : AB : BE = NC : CD : DF $

Из этой пропорции можно составить несколько равенств. Для начала найдем длину неизвестного отрезка $CD$. Для этого воспользуемся равенством отношений первой и второй пар отрезков: $ \frac{AN}{NC} = \frac{AB}{CD} $

Подставим известные значения: $AN = 2$ см, $NC = 3$ см, $AB = 4$ см. $ \frac{2}{3} = \frac{4}{CD} $

Решим уравнение относительно $CD$: $ 2 \cdot CD = 3 \cdot 4 $ $ CD = \frac{12}{2} = 6 $ см.

Найти BE

Теперь, зная длину отрезка $CD$, мы можем найти $BE$. Воспользуемся равенством отношений второй и третьей пар отрезков из общей пропорции: $ \frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DF} $

Подставим известные и найденный ранее значения: $AB = 4$ см, $CD = 6$ см, $DF = 9$ см. $ \frac{4}{6} = \frac{BE}{9} $

Упростим дробь в левой части: $ \frac{2}{3} = \frac{BE}{9} $

Решим уравнение относительно $BE$: $ 3 \cdot BE = 2 \cdot 9 $ $ BE = \frac{18}{3} = 6 $ см.

Ответ: $BE = 6$ см.

Найти CF

Отрезок $CF$ состоит из двух смежных отрезков $CD$ и $DF$. Его длина равна сумме их длин: $ CF = CD + DF $

Мы уже вычислили, что $CD = 6$ см, а по условию $DF = 9$ см. $ CF = 6 + 9 = 15 $ см.

Ответ: $CF = 15$ см.