Номер 113, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

113. Начертите произвольный отрезок $AB$ и постройте на нём точку $C$ такую, что $AC : CB = 3 : 4$.

113. Начертите произвольный отрезок $AB$ и постройте на нём точку $C$ такую, что $AC : CB = 3 : 4$.

Для того чтобы разделить произвольный отрезок $AB$ точкой $C$ в отношении $AC : CB = 3 : 4$, необходимо выполнить следующие шаги построения с помощью циркуля и линейки без делений. Этот метод основан на теореме Фалеса.

План построения

1. Начертить произвольный отрезок $AB$.
2. Из точки $A$ провести луч $AD$, не совпадающий с лучом $AB$, под произвольным острым углом к отрезку $AB$.
3. На луче $AD$, начиная от точки $A$, отложить с помощью циркуля семь ($3 + 4 = 7$) равных отрезков произвольной длины. Обозначим точки деления $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7$. Таким образом, $AA_1 = A_1A_2 = \dots = A_6A_7$.
4. Соединить точку $A_7$ (последнюю точку на луче) с точкой $B$.
5. Через точку $A_3$ (третью точку на луче, так как первая часть отношения равна 3) провести прямую, параллельную отрезку $A_7B$. Детальное построение параллельной прямой описано ниже.
6. Точка пересечения этой прямой с отрезком $AB$ будет искомой точкой $C$.

Построение параллельной прямой (детализация шага 5)

Для построения прямой, проходящей через $A_3$ и параллельной $A_7B$, необходимо скопировать угол $\angle AA_7B$ в вершину $A_3$:

1. Установить ножку циркуля в точку $A_7$ и провести дугу произвольного радиуса так, чтобы она пересекла стороны угла $\angle BA_7A$ в двух точках (на луче $A_7A$ и на отрезке $A_7B$).
2. Не меняя раствор циркуля, установить его ножку в точку $A_3$ и провести такую же дугу, которая пересечет луч $AD$.
3. Измерить циркулем расстояние между точками пересечения первой дуги со сторонами угла $\angle BA_7A$.
4. С этим раствором циркуля установить ножку в точку пересечения второй дуги с лучом $AD$ и провести еще одну дугу так, чтобы она пересеклась со второй дугой.
5. Провести прямую через точку $A_3$ и точку пересечения дуг, полученную в предыдущем шаге. Эта прямая будет параллельна прямой $A_7B$. Точка, где она пересекает $AB$, и есть искомая точка $C$.

Обоснование построения

Рассмотрим угол $\angle DAB$. Прямые $A_3C$ и $A_7B$ параллельны по построению и пересекают стороны этого угла. Согласно обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Следовательно:

$\frac{AC}{CB} = \frac{AA_3}{A_3A_7}$

По построению, отрезок $AA_3$ состоит из 3 равных частей, а отрезок $A_3A_7$ — из 4 таких же частей. Поэтому:

$\frac{AA_3}{A_3A_7} = \frac{3}{4}$

Отсюда следует, что $\frac{AC}{CB} = \frac{3}{4}$, или $AC : CB = 3 : 4$, что и требовалось.

Иллюстрация принципа построения:

Примечание: на рисунке показано деление отрезка в отношении 3:2. В нашей задаче необходимо отложить 7 равных отрезков на вспомогательном луче и провести параллельную прямую через третью точку $A_3$.

Ответ: Точка $C$, построенная согласно приведенному алгоритму, является искомой точкой, так как она лежит на отрезке $AB$ и делит его в отношении $AC : CB = 3 : 4$.