Номер 118, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 10$ см, $BC = 4$ см. Через середину стороны $AB$ проведены прямые, параллельные сторонам $AC$ и $BC$. Найдите периметр образовавшегося четырёхугольника.

118. В треугольнике ABC известно, что $AC = 10$ см, $BC = 4$ см. Через середину стороны $AB$ проведены прямые, параллельные сторонам $AC$ и $BC$. Найдите периметр образовавшегося четырёхугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ точка $M$ является серединой стороны $AB$. Через точку $M$ проведем прямую, параллельную стороне $AC$, которая пересечет сторону $BC$ в точке $N$. Также через точку $M$ проведем прямую, параллельную стороне $BC$, которая пересечет сторону $AC$ в точке $K$. В результате образуется четырехугольник $CNMK$.

Рассмотрим полученный четырехугольник $CNMK$. По построению, его стороны попарно параллельны: $MK \parallel BC$ (и, следовательно, $MK \parallel NC$) и $MN \parallel AC$ (и, следовательно, $MN \parallel KC$). Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Значит, $CNMK$ — параллелограмм.

Теперь найдем длины его сторон. Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как прямая $MK$ проходит через середину стороны $AB$ (точку $M$) и параллельна стороне $BC$, то по свойству средней линии треугольника, точка $K$ является серединой стороны $AC$. Таким образом, длина стороны $CK$ образовавшегося четырехугольника равна половине длины стороны $AC$ треугольника:

$CK = \frac{1}{2} AC = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см}$

Аналогично, так как прямая $MN$ проходит через середину стороны $AB$ (точку $M$) и параллельна стороне $AC$, то точка $N$ является серединой стороны $BC$. Таким образом, длина стороны $CN$ равна половине длины стороны $BC$:

$CN = \frac{1}{2} BC = \frac{4 \text{ см}}{2} = 2 \text{ см}$

Периметр параллелограмма $CNMK$ равен удвоенной сумме длин двух его смежных сторон:

$P_{CNMK} = 2 \times (CK + CN)$

Подставим найденные значения:

$P_{CNMK} = 2 \times (5 \text{ см} + 2 \text{ см}) = 2 \times 7 \text{ см} = 14 \text{ см}$

Альтернативно, можно заметить, что $MK$ и $MN$ являются средними линиями треугольника $ABC$. Тогда $MK = \frac{1}{2} BC = 2$ см, а $MN = \frac{1}{2} AC = 5$ см. Периметр будет равен $CK + KN + NM + MC = 5 + 2 + 5 + 2 = 14$ см.

Ответ: 14 см.