Номер 124, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. Сторону $AB$ треугольника $ABC$ разделили на 3 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные стороне $BC$. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие треугольнику $ABC$, если наименьший из этих отрезков на 6 см меньше стороны $BC$.

124. Сторону $AB$ треугольника $ABC$ разделили на 3 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные стороне $BC$. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие треугольнику $ABC$, если наименьший из этих отрезков на 6 см меньше стороны $BC$.

Пусть в треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ отмечены точки $D$ и $E$ таким образом, что они делят сторону на три равных отрезка. Порядок точек на стороне: $A, D, E, B$. Таким образом, $AD = DE = EB$. Через точки $D$ и $E$ проведены прямые, параллельные стороне $BC$. Пусть эти прямые пересекают сторону $AC$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Мы ищем длины отрезков $DF$ и $EG$.

Рассмотрим треугольник $ADF$ и треугольник $ABC$. Так как прямая $DF$ параллельна прямой $BC$, то по теореме о пропорциональных отрезках (или по признаку подобия треугольников) треугольник $ADF$ подобен треугольнику $ABC$. Угол $\angle A$ у них общий, а углы $\angle ADF$ и $\angle ABC$ равны как соответственные при параллельных прямых $DF$ и $BC$ и секущей $AB$.

Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению их сторон:$k_1 = \frac{AD}{AB}$.Поскольку $AD = DE = EB$, мы можем принять $AD = x$, тогда $AE = 2x$ и $AB = 3x$.Следовательно, $k_1 = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}$.Отношение оснований подобных треугольников равно коэффициенту подобия:$\frac{DF}{BC} = k_1 = \frac{1}{3}$, откуда $DF = \frac{1}{3} BC$.

Аналогично, рассмотрим треугольники $AEG$ и $ABC$. Так как $EG \parallel BC$, то треугольник $AEG$ подобен треугольнику $ABC$.Коэффициент подобия $k_2 = \frac{AE}{AB} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$.Следовательно, $\frac{EG}{BC} = k_2 = \frac{2}{3}$, откуда $EG = \frac{2}{3} BC$.

Мы получили выражения для длин двух отрезков: $DF = \frac{1}{3} BC$ и $EG = \frac{2}{3} BC$. Поскольку $\frac{1}{3} < \frac{2}{3}$, то $DF < EG$. Значит, $DF$ — наименьший из этих отрезков.

По условию задачи, наименьший из отрезков на 6 см меньше стороны $BC$. Это можно записать в виде уравнения:$DF = BC - 6$.

Теперь подставим в это уравнение выражение для $DF$, которое мы нашли ранее:$\frac{1}{3} BC = BC - 6$.Решим это уравнение относительно $BC$:$BC - \frac{1}{3} BC = 6$$\frac{2}{3} BC = 6$$BC = 6 \cdot \frac{3}{2}$$BC = 9$ см.

Теперь, зная длину стороны $BC$, мы можем найти длины искомых отрезков:$DF = \frac{1}{3} BC = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ см.$EG = \frac{2}{3} BC = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ см.

Ответ: 3 см и 6 см.