Страница 51 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. Сторону $AB$ треугольника $ABC$ разделили на 3 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные стороне $BC$. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие треугольнику $ABC$, если наименьший из этих отрезков на 6 см меньше стороны $BC$.

124. Сторону $AB$ треугольника $ABC$ разделили на 3 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные стороне $BC$. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие треугольнику $ABC$, если наименьший из этих отрезков на 6 см меньше стороны $BC$.

Пусть в треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ отмечены точки $D$ и $E$ таким образом, что они делят сторону на три равных отрезка. Порядок точек на стороне: $A, D, E, B$. Таким образом, $AD = DE = EB$. Через точки $D$ и $E$ проведены прямые, параллельные стороне $BC$. Пусть эти прямые пересекают сторону $AC$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Мы ищем длины отрезков $DF$ и $EG$.

Рассмотрим треугольник $ADF$ и треугольник $ABC$. Так как прямая $DF$ параллельна прямой $BC$, то по теореме о пропорциональных отрезках (или по признаку подобия треугольников) треугольник $ADF$ подобен треугольнику $ABC$. Угол $\angle A$ у них общий, а углы $\angle ADF$ и $\angle ABC$ равны как соответственные при параллельных прямых $DF$ и $BC$ и секущей $AB$.

Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению их сторон:$k_1 = \frac{AD}{AB}$.Поскольку $AD = DE = EB$, мы можем принять $AD = x$, тогда $AE = 2x$ и $AB = 3x$.Следовательно, $k_1 = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}$.Отношение оснований подобных треугольников равно коэффициенту подобия:$\frac{DF}{BC} = k_1 = \frac{1}{3}$, откуда $DF = \frac{1}{3} BC$.

Аналогично, рассмотрим треугольники $AEG$ и $ABC$. Так как $EG \parallel BC$, то треугольник $AEG$ подобен треугольнику $ABC$.Коэффициент подобия $k_2 = \frac{AE}{AB} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$.Следовательно, $\frac{EG}{BC} = k_2 = \frac{2}{3}$, откуда $EG = \frac{2}{3} BC$.

Мы получили выражения для длин двух отрезков: $DF = \frac{1}{3} BC$ и $EG = \frac{2}{3} BC$. Поскольку $\frac{1}{3} < \frac{2}{3}$, то $DF < EG$. Значит, $DF$ — наименьший из этих отрезков.

По условию задачи, наименьший из отрезков на 6 см меньше стороны $BC$. Это можно записать в виде уравнения:$DF = BC - 6$.

Теперь подставим в это уравнение выражение для $DF$, которое мы нашли ранее:$\frac{1}{3} BC = BC - 6$.Решим это уравнение относительно $BC$:$BC - \frac{1}{3} BC = 6$$\frac{2}{3} BC = 6$$BC = 6 \cdot \frac{3}{2}$$BC = 9$ см.

Теперь, зная длину стороны $BC$, мы можем найти длины искомых отрезков:$DF = \frac{1}{3} BC = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ см.$EG = \frac{2}{3} BC = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ см.

Ответ: 3 см и 6 см.

125. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC = BC$) точка $M$ пересечения медиан удалена от вершины $C$ на 10 см. Найдите расстояние от точки $M$ до основания.

125. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC = BC$) точка $M$ пересечения медиан удалена от вершины $C$ на 10 см. Найдите расстояние от точки $M$ до основания.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$, в котором $AC = BC$. Точка $M$ является точкой пересечения медиан этого треугольника.

Проведем медиану $CH$ из вершины $C$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок $CH$ перпендикулярен основанию $AB$.

Поскольку точка $M$ является точкой пересечения медиан, она лежит на медиане $CH$. Расстояние от точки $M$ до основания $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $AB$. Так как $CH \perp AB$, то искомое расстояние равно длине отрезка $MH$.

Известно свойство точки пересечения медиан (центроида) треугольника: она делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $CH$ это свойство записывается как:
$\frac{CM}{MH} = \frac{2}{1}$

По условию задачи, расстояние от точки $M$ до вершины $C$ равно 10 см, то есть $CM = 10$ см.

Подставим известное значение в пропорцию и найдем $MH$:
$\frac{10}{MH} = \frac{2}{1}$
$2 \cdot MH = 10$
$MH = \frac{10}{2} = 5$ см.

Следовательно, расстояние от точки $M$ до основания $AB$ составляет 5 см.

Ответ: 5 см.

126. В прямоугольном треугольнике ABC ($\angle C = 90^\circ$) медианы пересекаются в точке M, точка O — середина AB. Найдите гипотенузу AB, если $OM = 4$ см.

126. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) медианы пересекаются в точке $M$, точка $O$ — середина $AB$. Найдите гипотенузу $AB$, если $OM = 4$ см.

По условию, в прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) медианы пересекаются в точке $M$. Точка $M$ является центроидом треугольника.

Точка $O$ — середина гипотенузы $AB$. Следовательно, отрезок $CO$ является медианой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе.

Точка пересечения медиан $M$ лежит на медиане $CO$ и, по свойству центроида, делит её в отношении $2:1$, считая от вершины. Таким образом, мы имеем соотношение:
$CM : MO = 2 : 1$

Из условия известно, что $OM = 4$ см. Используя это соотношение, мы можем найти полную длину медианы $CO$. Поскольку $MO$ составляет $1$ часть, а $CM$ — $2$ части, вся медиана $CO$ состоит из $1+2=3$ частей.
Следовательно, $CO = 3 \cdot MO$.
$CO = 3 \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

В прямоугольном треугольнике существует свойство, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. То есть:
$CO = \frac{1}{2} AB$

Отсюда мы можем выразить длину гипотенузы $AB$:
$AB = 2 \cdot CO$

Подставим найденное значение длины медианы $CO$:
$AB = 2 \cdot 12 \text{ см} = 24 \text{ см}$.

Ответ: 24 см.

127. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) точка пересечения медиан удалена от вершины $B$ на 4 см. Найдите расстояние от середины боковой стороны треугольника $ABC$ до его основания.

127. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) точка пересечения медиан удалена от вершины $B$ на 4 см. Найдите расстояние от середины боковой стороны тре- угольника $ABC$ до его основания.

Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ ($AB = BC$) точка $M$ является точкой пересечения медиан. Проведем медиану $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой, следовательно, $BH \perp AC$.

Точка пересечения медиан $M$ лежит на медиане $BH$. По условию задачи, расстояние от точки $M$ до вершины $B$ составляет 4 см, то есть $BM = 4$ см.

Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $BH$ это означает, что $BM : MH = 2 : 1$.

Используя это свойство, найдем длину отрезка $MH$:

$\frac{BM}{MH} = \frac{2}{1} \implies MH = \frac{BM}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Теперь мы можем найти полную длину медианы $BH$, которая также является высотой треугольника $ABC$:

$BH = BM + MH = 4 + 2 = 6$ см.

Пусть точка $K$ — середина боковой стороны $AB$. Нам нужно найти расстояние от точки $K$ до основания $AC$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на прямую $AC$. Обозначим его $KL$, где $L$ — точка на $AC$. Таким образом, $KL \perp AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $H$ прямой, так как $BH \perp AC$). Поскольку $K$ — середина стороны $AB$ и $KL \parallel BH$ (так как оба отрезка перпендикулярны $AC$), то отрезок $KL$ является средней линией треугольника $ABH$.

По свойству средней линии, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. Следовательно:

$KL = \frac{1}{2} BH = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

Ответ: 3 см.

128. Отрезок $AK$ — биссектриса треугольника $ABC$. Найдите:

1) отрезки $BK$ и $KC$, если $AB = 8$ см, $AC = 12$ см, $BC = 10$ см;

2) сторону $AB$, если $BK : KC = 3 : 7$, $AC = 28$ см;

3) стороны $AB$ и $AC$, если $AC - AB = 9$ см, $BK : KC = 4 : 7$.

128. Отрезок $AK$ — биссектриса треугольника $ABC$. Найдите:

1) отрезки $BK$ и $KC$, если $AB = 8$ см, $AC = 12$ см, $BC = 10$ см;

2) сторону $AB$, если $BK : KC = 3 : 7$, $AC = 28$ см;

3) стороны $AB$ и $AC$, если $AC - AB = 9$ см, $BK : KC = 4 : 7$.

Во всех пунктах задачи используется свойство биссектрисы треугольника. Оно гласит, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Для треугольника $ABC$ и его биссектрисы $AK$ это свойство записывается в виде пропорции:

$\frac{AB}{AC} = \frac{BK}{KC}$

1) отрезки BK и KC, если AB = 8 см, AC = 12 см, BC = 10 см;

Согласно свойству биссектрисы, имеем:

$\frac{AB}{AC} = \frac{BK}{KC}$

Подставим известные значения длин сторон $AB$ и $AC$:

$\frac{8}{12} = \frac{BK}{KC}$

Сократив дробь в левой части, получим:

$\frac{2}{3} = \frac{BK}{KC}$

Пусть длина отрезка $BK$ равна $x$ см. Поскольку точка $K$ лежит на стороне $BC$, то $BK + KC = BC$. Отсюда длина отрезка $KC$ равна $10 - x$ см.

Подставим эти выражения в пропорцию:

$\frac{2}{3} = \frac{x}{10 - x}$

Решим полученное уравнение, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$2 \cdot (10 - x) = 3 \cdot x$

$20 - 2x = 3x$

$20 = 5x$

$x = 4$

Следовательно, длина отрезка $BK = 4$ см.

Теперь найдем длину отрезка $KC$:

$KC = 10 - x = 10 - 4 = 6$ см.

Ответ: $BK = 4$ см, $KC = 6$ см.

2) сторону AB, если BK : KC = 3 : 7, AC = 28 см;

Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника:

$\frac{AB}{AC} = \frac{BK}{KC}$

Из условия задачи известно, что отношение $\frac{BK}{KC} = \frac{3}{7}$ и длина стороны $AC = 28$ см.

Подставим эти значения в пропорцию:

$\frac{AB}{28} = \frac{3}{7}$

Чтобы найти $AB$, умножим обе части уравнения на 28:

$AB = \frac{3}{7} \cdot 28$

$AB = 3 \cdot 4 = 12$

Таким образом, длина стороны $AB$ равна 12 см.

Ответ: $AB = 12$ см.

3) стороны AB и AC, если AC - AB = 9 см, BK : KC = 4 : 7.

Как и в предыдущих пунктах, применяем свойство биссектрисы:

$\frac{AB}{AC} = \frac{BK}{KC}$

По условию $\frac{BK}{KC} = \frac{4}{7}$, значит:

$\frac{AB}{AC} = \frac{4}{7}$

Из этой пропорции выразим $AB$ через $AC$:

$AB = \frac{4}{7} AC$

Также из условия задачи мы знаем, что $AC - AB = 9$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными. Подставим выражение для $AB$ из первого уравнения во второе:

$AC - \frac{4}{7} AC = 9$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$\frac{7AC - 4AC}{7} = 9$

$\frac{3AC}{7} = 9$

Теперь найдем $AC$:

$3AC = 9 \cdot 7$

$3AC = 63$

$AC = \frac{63}{3} = 21$

Мы нашли длину стороны $AC$, она равна 21 см.

Теперь найдем длину стороны $AB$, используя соотношение $AC - AB = 9$:

$21 - AB = 9$

$AB = 21 - 9 = 12$

Таким образом, длины сторон равны $AB = 12$ см и $AC = 21$ см.

Ответ: $AB = 12$ см, $AC = 21$ см.

129. Стороны треугольника равны 15 см, 18 см и 22 см. Окружность, центр которой принадлежит большей стороне треугольника, касается двух других сторон. Найдите отрезки, на которые центр окружности делит сторону треугольника.

129. Стороны треугольника равны 15 см, 18 см и 22 см. Окружность, центр которой принадлежит большей стороне треугольника, касается двух других сторон. Найдите отрезки, на которые центр окружности делит сторону треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 15$ см, $BC = 18$ см и $AC = 22$ см. Большая сторона треугольника — $AC$.

По условию, центр окружности, назовем его точкой $O$, принадлежит большей стороне, то есть $O \in AC$. Также окружность с центром в точке $O$ касается двух других сторон, $AB$ и $BC$.

Ключевое свойство заключается в том, что центр окружности, касающейся двух сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла. Поскольку окружность с центром $O$ касается сторон $AB$ и $BC$, точка $O$ равноудалена от этих сторон. Следовательно, точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$.

Таким образом, точка $O$ является точкой пересечения биссектрисы угла $\angle ABC$ (то есть отрезка $BO$) со стороной $AC$.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае биссектриса $BO$ делит сторону $AC$ на отрезки $AO$ и $OC$. Для них справедливо соотношение:

$ \frac{AO}{OC} = \frac{AB}{BC} $

Подставим известные длины сторон:

$ \frac{AO}{OC} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6} $

Мы знаем, что точка $O$ делит сторону $AC$ на два отрезка, сумма длин которых равна длине всей стороны:

$ AO + OC = AC = 22 $ см.

Пусть длина отрезка $AO$ равна $x$, а длина отрезка $OC$ равна $y$. Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} = \frac{5}{6} \\ x + y = 22 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = \frac{5}{6}y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$ \frac{5}{6}y + y = 22 $

$ (\frac{5}{6} + 1)y = 22 $

$ \frac{11}{6}y = 22 $

$ y = 22 \cdot \frac{6}{11} = 2 \cdot 6 = 12 $

Итак, длина отрезка $OC$ равна 12 см.

Теперь найдем длину отрезка $AO$:

$ x = 22 - y = 22 - 12 = 10 $

Длина отрезка $AO$ равна 10 см.

Таким образом, центр окружности делит большую сторону на отрезки длиной 10 см и 12 см.

Ответ: 10 см и 12 см.

130. В треугольнике $ABC$ $AB = 10 \text{ см}$, $BC = 9 \text{ см}$, $AC = 17 \text{ см}$.

В каком отношении центр окружности, вписанной в треугольник, делит его биссектрису $AM$?

130. В треугольнике $ABC$ $AB = 10$ см, $BC = 9$ см, $AC = 17$ см.

В каком отношении центр окружности, вписанной в треугольник, делит его биссектрису $AM$?

Пусть $I$ — центр вписанной окружности в треугольник $ABC$. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника. Поскольку $AM$ — биссектриса угла $A$, то точка $I$ лежит на отрезке $AM$. Требуется найти отношение, в котором точка $I$ делит биссектрису $AM$, то есть отношение $AI : IM$.

Сначала воспользуемся свойством биссектрисы угла для треугольника $ABC$. Биссектриса $AM$ делит противолежащую сторону $BC$ на отрезки $BM$ и $MC$, пропорциональные прилежащим сторонам $AB$ и $AC$:$ \frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC} $Подставим известные значения $AB=10$ см и $AC=17$ см:$ \frac{BM}{MC} = \frac{10}{17} $Так как $BM + MC = BC = 9$ см, мы можем найти длину отрезка $BM$:$ BM = \frac{10}{10+17} \cdot BC = \frac{10}{27} \cdot 9 = \frac{10}{3} $ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ABM$. Точка $I$ (центр вписанной окружности) лежит также и на биссектрисе угла $B$. Следовательно, отрезок $BI$ является биссектрисой угла $ABM$ в треугольнике $ABM$. Снова применим свойство биссектрисы, но уже для треугольника $ABM$: биссектриса $BI$ делит противолежащую ей сторону $AM$ в отношении, равном отношению двух других сторон треугольника $ABM$:$ \frac{AI}{IM} = \frac{AB}{BM} $Подставим известные значения $AB = 10$ см и вычисленное значение $BM = \frac{10}{3}$ см:$ \frac{AI}{IM} = \frac{10}{\frac{10}{3}} = 10 \cdot \frac{3}{10} = 3 $Таким образом, центр вписанной окружности делит биссектрису $AM$ в отношении $3:1$, считая от вершины $A$.

Этот результат можно также получить, используя общее свойство центра вписанной окружности, который делит биссектрису $AM$ из вершины $A$ в отношении:$ \frac{AI}{IM} = \frac{AB + AC}{BC} $Подставляя данные из условия задачи:$ \frac{AI}{IM} = \frac{10 + 17}{9} = \frac{27}{9} = 3 $

Ответ: $3:1$

131. На медиане $AD$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $AM : MD = 5 : 3$. В каком отношении прямая $BM$ делит сторону $AC$?

131. На медиане $AD$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $AM : MD = 5 : 3$. В каком отношении прямая $BM$ делит сторону $AC$?

Для решения этой задачи можно использовать теорему Менелая или метод с дополнительным построением. Рассмотрим решение с помощью теоремы Менелая как наиболее прямое.

Пусть прямая $BM$ пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Мы ищем отношение $AK : KC$.

Рассмотрим треугольник $ADC$ и секущую $BKM$. Точки $B$, $M$, $K$ лежат на одной прямой. Эта прямая пересекает две стороны треугольника ($AC$ в точке $K$ и $AD$ в точке $M$) и продолжение третьей стороны ($CD$ в точке $B$).

Согласно теореме Менелая для треугольника $ADC$ и секущей $BKM$, справедливо следующее равенство:

$$ \frac{AK}{KC} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DM}{MA} = 1 $$

Теперь найдем значения отношений, входящих в это уравнение, исходя из условий задачи:

1. По условию, точка $M$ делит медиану $AD$ в отношении $AM : MD = 5 : 3$. Из этого следует, что отношение длин отрезков $\frac{AM}{MD} = \frac{5}{3}$. Для формулы нам понадобится обратное отношение: $\frac{DM}{MA} = \frac{3}{5}$.

2. $AD$ является медианой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $BC$. По определению медианы, точка $D$ — это середина стороны $BC$. Следовательно, $BD = DC$. Длина всей стороны $BC$ равна сумме длин ее частей: $BC = BD + DC = BD + BD = 2BD$. Отсюда находим отношение $\frac{CB}{BD} = \frac{2BD}{BD} = 2$.

Подставим найденные значения в уравнение теоремы Менелая:

$$ \frac{AK}{KC} \cdot 2 \cdot \frac{3}{5} = 1 $$

Упростим полученное выражение:

$$ \frac{AK}{KC} \cdot \frac{6}{5} = 1 $$

Наконец, выразим искомое отношение $\frac{AK}{KC}$:

$$ \frac{AK}{KC} = \frac{5}{6} $$

Таким образом, прямая $BM$ делит сторону $AC$ в отношении $5:6$, считая от вершины $A$.

Ответ: $5:6$.

132. На сторонах AC и BC треугольника ABC отметили точки E и F соответственно. Отрезки AF и BE пересекаются в точке K. В каком отношении точка K делит отрезок BE, если $AE : EC = 1 : 3$ и $BF : FC = 3 : 8$?

132. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили точки $E$ и $F$ соответственно. Отрезки $AF$ и $BE$ пересекаются в точке $K$. В каком отношении точка $K$ делит отрезок $BE$, если $AE : EC = 1 : 3$ и $BF : FC = 3 : 8$?

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Менелая. Эта теорема устанавливает соотношение, в котором произвольная прямая (секущая) пересекает стороны треугольника (или их продолжения).

Рассмотрим треугольник $CBE$ и секущую $AFK$. Эта секущая пересекает сторону $BC$ в точке $F$, сторону $BE$ в точке $K$ и продолжение стороны $CE$ (которое лежит на прямой $AC$) в точке $A$.

Согласно теореме Менелая для треугольника $CBE$ и секущей $AFK$, справедливо следующее равенство:

$$ \frac{CF}{FB} \cdot \frac{BK}{KE} \cdot \frac{EA}{AC} = 1 $$

Теперь найдем значения отношений, входящих в это уравнение, используя данные из условия задачи.

1. По условию дано, что $BF : FC = 3 : 8$. Отсюда следует, что $\frac{BF}{FC} = \frac{3}{8}$. Нам же для формулы требуется обратное отношение: $\frac{CF}{FB} = \frac{8}{3}$.

2. Также по условию $AE : EC = 1 : 3$. Чтобы найти отношение $\frac{EA}{AC}$, примем длину отрезка $AE$ за $x$. Тогда длина отрезка $EC$ будет равна $3x$. Длина всей стороны $AC$ является суммой длин ее частей: $AC = AE + EC = x + 3x = 4x$.

Теперь мы можем вычислить отношение $\frac{EA}{AC}$:

$$ \frac{EA}{AC} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4} $$

Подставим найденные значения отношений в формулу теоремы Менелая:

$$ \frac{8}{3} \cdot \frac{BK}{KE} \cdot \frac{1}{4} = 1 $$

Теперь решим это уравнение относительно искомого отношения $\frac{BK}{KE}$:

$$ \frac{8 \cdot 1}{3 \cdot 4} \cdot \frac{BK}{KE} = 1 $$

$$ \frac{8}{12} \cdot \frac{BK}{KE} = 1 $$

Сократим дробь $\frac{8}{12}$ на 4:

$$ \frac{2}{3} \cdot \frac{BK}{KE} = 1 $$

Выразим $\frac{BK}{KE}$:

$$ \frac{BK}{KE} = \frac{3}{2} $$

Это означает, что точка $K$ делит отрезок $BE$ в отношении $3:2$, считая от точки $B$.

Ответ: $3:2$.