Страница 45 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

73. В равнобокой трапеции ABCD большее основание AD равно 20 см, $\angle BAD = 60^\circ$. Через вершину B трапеции проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону AD в точке K. Найдите периметр трапеции, если $BK = 14$ см.

73. В равнобокой трапеции ABCD большее основание $\text{AD}$ равно 20 см, $\angle BAD = 60^{\circ}$. Через вершину $B$ трапеции проведена прямая, параллельная стороне $\text{CD}$ и пересекающая сторону $\text{AD}$ в точке $K$. Найдите периметр трапеции, если $\text{BK} = 14 \text{ см}$.

Дано:

Трапеция $ABCD$ — равнобокая.
$AD$ — большее основание, $AD = 20$ см.
$\angle BAD = 60^\circ$.
$BK$ — прямая, проходящая через вершину $B$, $K \in AD$.
$BK \parallel CD$.
$BK = 14$ см.

Найти:

Периметр трапеции $P_{ABCD}$.

Решение:

1. Рассмотрим четырехугольник $BCDK$. По определению трапеции, основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$), а значит, и $BC \parallel KD$, так как точка $K$ лежит на $AD$. По условию, $BK \parallel CD$. Поскольку противолежащие стороны четырехугольника $BCDK$ попарно параллельны, то $BCDK$ — параллелограмм.

2. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны. Следовательно, $CD = BK$ и $BC = KD$.Из условия известно, что $BK = 14$ см, значит $CD = 14$ см.

3. Трапеция $ABCD$ — равнобокая, поэтому ее боковые стороны равны: $AB = CD$. Так как $CD = 14$ см, то и $AB = 14$ см.

4. В равнобокой трапеции углы при основании равны, следовательно, $\angle CDA = \angle BAD = 60^\circ$.

5. Рассмотрим параллельные прямые $BK$ и $CD$ и секущую $AD$. Углы $\angle BKA$ и $\angle CDA$ являются соответственными, поэтому они равны. Значит, $\angle BKA = \angle CDA = 60^\circ$.

6. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABK$. Мы знаем два его угла: $\angle BAK = \angle BAD = 60^\circ$ и $\angle BKA = 60^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle ABK = 180^\circ - \angle BAK - \angle BKA = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.

7. Так как все три угла в треугольнике $\triangle ABK$ равны $60^\circ$, этот треугольник является равносторонним. Значит, все его стороны равны: $AK = AB = BK$. Поскольку $BK = 14$ см, то $AK = 14$ см.

8. Длина большего основания $AD$ состоит из суммы длин отрезков $AK$ и $KD$: $AD = AK + KD$. Мы знаем, что $AD = 20$ см и $AK = 14$ см. Можем найти $KD$:
$KD = AD - AK = 20 - 14 = 6$ см.

9. Из пункта 2 мы знаем, что $BC = KD$. Следовательно, длина меньшего основания $BC = 6$ см.

10. Теперь мы знаем длины всех сторон трапеции: $AB = 14$ см, $BC = 6$ см, $CD = 14$ см, $AD = 20$ см. Найдем периметр $P_{ABCD}$ как сумму длин всех сторон:
$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 14 + 6 + 14 + 20 = 54$ см.

Ответ: 54 см.

74. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 18 см. Найдите отрезки, на которые высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание.

74. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 18 см. Найдите отрезки, на которые высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причём $AD$ — большее основание. По условию задачи, длины оснований равны $BC = 10$ см и $AD = 18$ см.

Проведём высоту $BH$ из вершины тупого угла $B$ на большее основание $AD$. Эта высота разделит основание $AD$ на два отрезка: $AH$ и $HD$. Наша задача — найти длины этих отрезков.

Для решения задачи проведём также вторую высоту $CK$ из вершины $C$ на то же основание $AD$.

Поскольку трапеция $ABCD$ является равнобокой, боковые стороны равны ($AB = CD$), и углы при основании равны. Прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по гипотенузе и катету ($AB = CD$ и $BH = CK$ как высоты трапеции).

Из равенства треугольников следует равенство их катетов: $AH = KD$.

Четырёхугольник $HBCK$ является прямоугольником, так как его стороны $BC$ и $HK$ параллельны ($BC \parallel AD$), а углы при основании $AD$ — прямые ($BH \perp AD$ и $CK \perp AD$). Следовательно, длина отрезка $HK$ равна длине меньшего основания $BC$: $HK = BC = 10$ см.

Большее основание $AD$ состоит из трёх отрезков: $AD = AH + HK + KD$.

Заменив $KD$ на равный ему отрезок $AH$ и $HK$ на его известную длину, получим:$AD = AH + 10 + AH = 2 \cdot AH + 10$

Подставим известное значение длины $AD$:$18 = 2 \cdot AH + 10$

Теперь решим это уравнение относительно $AH$:$2 \cdot AH = 18 - 10$$2 \cdot AH = 8$$AH = \frac{8}{2} = 4$ см.

Мы нашли длину одного из отрезков. Длина второго отрезка, $HD$, равна сумме длин $HK$ и $KD$:$HD = HK + KD$Так как $KD = AH = 4$ см, а $HK = 10$ см, то:$HD = 10 + 4 = 14$ см.

Таким образом, высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки длиной 4 см и 14 см.

Ответ: 4 см и 14 см.

75. Большее основание равнобокой трапеции равно 16 см. Высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, один из которых равен 4 см. Найдите среднюю линию трапеции.

75. Большее основание равнобокой трапеции равно 16 см. Высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, один из которых равен 4 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD$ — большее основание. По условию, $AD = 16$ см.

Проведем высоту $BH$ из вершины тупого угла $B$ на основание $AD$. Эта высота делит основание $AD$ на два отрезка: $AH$ и $HD$. Сумма длин этих отрезков равна длине основания $AD$:

$AD = AH + HD$

По условию, один из этих отрезков равен 4 см. Найдем длину второго отрезка:

$16 \text{ см} - 4 \text{ см} = 12 \text{ см}$

Таким образом, высота делит большее основание на отрезки длиной 4 см и 12 см.

В равнобокой трапеции отрезки, на которые высота из вершины тупого угла делит большее основание, имеют определенные свойства. Если провести вторую высоту $CK$ из вершины $C$, то $AH = KD$ и прямоугольник $HBCK$ имеет сторону $HK = BC$.

Меньший из отрезков, $AH$, вычисляется по формуле:

$AH = \frac{AD - BC}{2}$

Больший из отрезков, $HD$, вычисляется по формуле:

$HD = HK + KD = BC + AH = BC + \frac{AD - BC}{2} = \frac{2BC + AD - BC}{2} = \frac{AD + BC}{2}$

Поскольку длина меньшего основания $BC$ всегда положительна, то $HD > AH$. Следовательно, меньший отрезок $AH = 4$ см, а больший отрезок $HD = 12$ см.

Средняя линия трапеции ($m$) по определению равна полусумме ее оснований:

$m = \frac{AD + BC}{2}$

Как мы видим из выведенной выше формулы, длина большего отрезка $HD$ равна полусумме оснований. Таким образом, длина средней линии трапеции равна длине большего отрезка, на которые высота делит большее основание.

$m = HD = 12$ см

Ответ: 12 см

76. В равнобокой трапеции диагональ равна 18 см и образует с основанием угол 60°. Найдите основания трапеции, если их разность равна 10 см.

76.В равнобокой трапеции диагональ равна 18 см и образует с основанием угол $60^\circ$. Найдите основания трапеции, если их разность равна 10 см.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC – основания (AD – большее, BC – меньшее). Диагональ AC = 18 см, угол между диагональю и основанием AD (∠CAD) равен 60°. По условию, разность длин оснований составляет 10 см: $AD - BC = 10$.

Проведем из вершины C высоту CK на основание AD. Треугольник ACK является прямоугольным (∠CKA = 90°).

В прямоугольном треугольнике ACK мы можем найти длину катета AK, который является проекцией диагонали AC на основание AD. Используя тригонометрическое соотношение для косинуса угла, получаем: $AK = AC \cdot \cos(\angle CAD)$ Подставив известные значения, найдем AK: $AK = 18 \cdot \cos(60^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

По свойству равнобокой трапеции, высота, опущенная из вершины на большее основание, отсекает от него отрезок, длина которого равна полуразности оснований. Обозначим этот отрезок KD. $KD = \frac{AD - BC}{2}$ Так как по условию $AD - BC = 10$ см, то: $KD = \frac{10}{2} = 5$ см.

Большее основание AD состоит из двух отрезков: AK и KD. То есть, $AD = AK + KD$. Найдем длину основания AD: $AD = 9 + 5 = 14$ см.

Теперь, зная длину большего основания, найдем длину меньшего основания BC: $BC = AD - 10 = 14 - 10 = 4$ см.

Ответ: основания трапеции равны 4 см и 14 см.

77. Основания равнобокой трапеции равны 14 см и 18 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите высоту трапеции.

77. Основания равнобокой трапеции равны 14 см и 18 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите высоту трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция с основаниями $a$ и $b$, где большее основание $a = 18$ см и меньшее основание $b = 14$ см. Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке $O$ под прямым углом.

В равнобокой трапеции треугольники, образованные пересечением диагоналей и основаниями, являются равнобедренными. Так как по условию диагонали перпендикулярны, то эти треугольники являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

Проведем высоту трапеции $h$ через точку пересечения диагоналей $O$. Эта высота будет состоять из двух отрезков: $h_a$ (высота треугольника, опирающегося на основание $a$) и $h_b$ (высота треугольника, опирающегося на основание $b$).

Высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы. Основания трапеции являются гипотенузами для этих треугольников.

Высота треугольника, опирающегося на большее основание, равна:

$h_a = \frac{a}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Высота треугольника, опирающегося на меньшее основание, равна:

$h_b = \frac{b}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.

Общая высота трапеции $h$ равна сумме высот этих двух треугольников:

$h = h_a + h_b = 9 + 7 = 16$ см.

Примечательно, что высота равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями всегда равна полусумме её оснований: $h = \frac{a+b}{2}$.

Ответ: 16 см.

78. В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ соответственно равны 8 см и 20 см. Через точку $M$ — середину боковой стороны $CD$ — проведена прямая, пересекающая основание $AD$ в точке $N$ такой, что $DN = 6$ см. Найдите отрезок $MN$, если $AB = 18$ см.

78. В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ соответственно равны 8 см и 20 см. Через точку $M$ — середину боковой стороны $CD$ — проведена прямая, пересекающая основание $AD$ в точке $N$ такой, что $DN = 6$ см. Найдите отрезок $MN$, если $AB = 18$ см.

Для решения задачи выполним дополнительное построение. Проведем через вершину $C$ трапеции прямую, параллельную боковой стороне $AB$. Пусть эта прямая пересекает основание $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCE$. В нем стороны $BC$ и $AE$ параллельны, так как они лежат на параллельных основаниях трапеции ($BC \parallel AD$). Стороны $AB$ и $CE$ параллельны по нашему построению. Таким образом, $ABCE$ — это параллелограмм.

По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны. Отсюда следует:

• $AE = BC = 8$ см.
• $CE = AB = 18$ см.

Теперь мы можем найти длину отрезка $ED$, который является частью основания $AD$.

$ED = AD - AE = 20 \text{ см} - 8 \text{ см} = 12$ см.

По условию задачи, точка $N$ лежит на основании $AD$ и $DN = 6$ см. Сравнивая длины отрезков $ED$ и $DN$, мы видим, что $DN = \frac{1}{2} ED$ ($6 = \frac{1}{2} \cdot 12$). Это означает, что точка $N$ является серединой отрезка $ED$.

Теперь рассмотрим треугольник $CED$. В этом треугольнике:

• Точка $M$ является серединой стороны $CD$ (по условию задачи).
• Точка $N$ является серединой стороны $ED$ (как мы только что установили).

Отрезок $MN$ соединяет середины двух сторон треугольника $CED$. Следовательно, $MN$ является средней линией этого треугольника.

По теореме о средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна ее половине. В нашем случае, третья сторона — это $CE$.

$MN = \frac{1}{2} CE$

Подставляем найденное ранее значение $CE = 18$ см:

$MN = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см.

Ответ: 9 см.

79. Постройте трапецию по основаниям, высоте и углу между диагональю и основанием.

79. Постройте трапецию по основаниям, высоте и углу между диагональю и основанием.

Анализ

Пусть искомая трапеция — $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD = a$ и $BC = b$. Пусть высота, опущенная из вершины $C$ на основание $AD$, есть $CH$. Тогда $CH=h$. Предположим, что заданный угол $\alpha$ — это угол между диагональю $AC$ и основанием $AD$, то есть $\angle CAD = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (с прямым углом при вершине $H$, $\angle CHA = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известен катет $CH=h$ и противолежащий ему угол $\angle CAH = \alpha$. Этих данных достаточно для построения треугольника $ACH$.

После построения треугольника $ACH$ у нас будут определены вершины $A$ и $C$, а также прямая, содержащая основание $AD$ (она проходит через точки $A$ и $H$). Вершина $D$ лежит на этой прямой на расстоянии $a$ от точки $A$. Вершина $B$ лежит на прямой, проходящей через точку $C$ параллельно $AD$, на расстоянии $b$ от точки $C$. Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ACH$ и последующему достроению его до трапеции.

Построение

1. Построим прямоугольный треугольник $ACH$ по катету $h$ и противолежащему углу $\alpha$.
   1. Проведем произвольную прямую $k$.
   2. Выберем на ней произвольную точку $H$ и восставим в этой точке перпендикуляр к прямой $k$.
   3. На этом перпендикуляре отложим отрезок $HC$, равный данной высоте $h$.
   4. Найдем положение вершины $A$ на прямой $k$. Так как в прямоугольном треугольнике $ACH$ сумма острых углов равна $90^\circ$, то $\angle ACH = 90^\circ - \alpha$. Построим из точки $C$ луч, образующий с лучом $CH$ угол, равный $90^\circ - \alpha$. Точка пересечения этого луча с прямой $k$ и будет искомой вершиной $A$.
2. Теперь у нас есть вершины $A$ и $C$, а прямая $k$ содержит основание $AD$. Отложим на прямой $k$ от точки $A$ отрезок $AD$, равный данной длине основания $a$.
3. Через вершину $C$ проведем прямую $m$, параллельную прямой $k$. Эта прямая будет содержать основание $BC$.
4. На прямой $m$ от точки $C$ отложим отрезок $CB$, равный данной длине основания $b$. Точку $B$ можно отложить в любую из двух сторон от точки $C$. Выберем одно из положений.
5. Соединим последовательно точки $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ является искомой трапецией.

Доказательство

Проверим, что построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• По построению, прямая $BC$ (прямая $m$) параллельна прямой $AD$ (прямая $k$). Следовательно, $ABCD$ — трапеция.
• Длины оснований $AD = a$ и $BC = b$ по построению.
• Расстояние между параллельными прямыми $k$ и $m$ равно длине перпендикуляра $CH$, который по построению равен $h$. Следовательно, высота трапеции равна $h$.
• В прямоугольном треугольнике $ACH$ ($\angle CHA = 90^\circ$) по построению $CH=h$ и $\angle ACH = 90^\circ - \alpha$. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, то $\angle CAH = 90^\circ - \angle ACH = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$. Угол $\angle CAH$ и есть угол между диагональю $AC$ и основанием $AD$.

Таким образом, построенная трапеция $ABCD$ удовлетворяет всем условиям.

Примечание: Задача имеет решение, если заданные длины $a, b, h$ положительны, а угол $\alpha$ является острым ($0 < \alpha < 90^\circ$). Выбор стороны, в которую откладываются отрезки $AD$ и $CB$, может привести к построению различных трапеций, но все они будут удовлетворять условию.

Ответ: Алгоритм построения и его доказательство приведены выше.

80. Чему равна градусная мера центрального угла окружности, опирающегося на дугу, составляющую $ \frac{5}{18} $ окружности?

80. Чему равна градусная мера центрального угла окружности, опирающегося на дугу, составляющую $ \frac{5}{18} $ окружности?

Градусная мера всей окружности составляет $360^\circ$. По определению, градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

Дуга составляет $\frac{5}{18}$ от всей окружности. Чтобы найти градусную меру этой дуги, нужно умножить полную градусную меру окружности на эту дробь.

Вычислим градусную меру дуги (и, соответственно, центрального угла):

$360^\circ \cdot \frac{5}{18} = \frac{360^\circ}{18} \cdot 5 = 20^\circ \cdot 5 = 100^\circ$

Следовательно, градусная мера центрального угла равна $100^\circ$.

Ответ: $100^\circ$

81. Найдите градусные меры двух дуг окружности, на которые её делят две точки, если градусная мера одной из дуг на $80^\circ$ больше градусной меры другой.

81. Найдите градусные меры двух дуг окружности, на которые её делят две точки, если градусная мера одной из дуг на $80^\circ$ больше градусной меры другой.

Пусть градусная мера меньшей дуги равна $x$. По условию задачи, градусная мера большей дуги на $80^\circ$ больше, следовательно, она равна $x + 80^\circ$.

Две точки делят окружность на две дуги, сумма градусных мер которых равна градусной мере полной окружности, то есть $360^\circ$. Составим уравнение:

$x + (x + 80^\circ) = 360^\circ$

Теперь решим полученное уравнение:

$2x + 80^\circ = 360^\circ$

$2x = 360^\circ - 80^\circ$

$2x = 280^\circ$

$x = \frac{280^\circ}{2}$

$x = 140^\circ$

Таким образом, градусная мера одной дуги составляет $140^\circ$.

Найдем градусную меру второй дуги:

$x + 80^\circ = 140^\circ + 80^\circ = 220^\circ$

Проверка: $140^\circ + 220^\circ = 360^\circ$.

Ответ: градусные меры дуг равны $140^\circ$ и $220^\circ$.

82. Найдите вписанный угол, если градусная мера дуги, на которую он опирается, равна:

1) $32^\circ$;

2) $328^\circ$;

3) $2\beta$.

82. Найдите вписанный угол, если градусная мера дуги, на которую он опирается, равна:

1) $32^\circ$;

2) $328^\circ$;

3) $2\beta$.

По теореме о вписанном угле, его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Если $\alpha$ – вписанный угол, а $\gamma$ – градусная мера дуги, на которую он опирается, то их связь выражается формулой: $\alpha = \frac{1}{2}\gamma$

1)

Дана градусная мера дуги $\gamma = 32^\circ$. Найдем вписанный угол, опирающийся на эту дугу: $\alpha = \frac{1}{2} \cdot 32^\circ = 16^\circ$.

Ответ: $16^\circ$.

2)

Дана градусная мера дуги $\gamma = 328^\circ$. Найдем вписанный угол, опирающийся на эту дугу: $\alpha = \frac{1}{2} \cdot 328^\circ = 164^\circ$.

Ответ: $164^\circ$.

3)

Дана градусная мера дуги $\gamma = 2\beta$. Найдем вписанный угол, опирающийся на эту дугу: $\alpha = \frac{1}{2} \cdot (2\beta) = \beta$.

Ответ: $\beta$.

83. Точки $K$ и $D$ лежат на окружности по одну сторону от хорды $AB$. Найдите угол $AKB$, если $\angle ADB = 129^\circ$.

83. Точки $K$ и $D$ лежат на окружности по одну сторону от хорды $AB$. Найдите угол $AKB$, если $\angle ADB = 129^\circ$.

Согласно свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.

В данной задаче углы $\angle AKB$ и $\angle ADB$ являются вписанными. Поскольку по условию точки K и D лежат на окружности по одну сторону от хорды AB, это означает, что оба угла опираются на одну и ту же дугу AB.

Следовательно, величины этих углов равны между собой:
$\angle AKB = \angle ADB$

Так как нам известно, что $\angle ADB = 129^{\circ}$, то искомый угол $\angle AKB$ также будет равен $129^{\circ}$.

Ответ: $129^{\circ}$