Номер 73, страница 45 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

73. В равнобокой трапеции ABCD большее основание AD равно 20 см, $\angle BAD = 60^\circ$. Через вершину B трапеции проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону AD в точке K. Найдите периметр трапеции, если $BK = 14$ см.

73. В равнобокой трапеции ABCD большее основание $\text{AD}$ равно 20 см, $\angle BAD = 60^{\circ}$. Через вершину $B$ трапеции проведена прямая, параллельная стороне $\text{CD}$ и пересекающая сторону $\text{AD}$ в точке $K$. Найдите периметр трапеции, если $\text{BK} = 14 \text{ см}$.

Дано:

Трапеция $ABCD$ — равнобокая.
$AD$ — большее основание, $AD = 20$ см.
$\angle BAD = 60^\circ$.
$BK$ — прямая, проходящая через вершину $B$, $K \in AD$.
$BK \parallel CD$.
$BK = 14$ см.

Найти:

Периметр трапеции $P_{ABCD}$.

Решение:

1. Рассмотрим четырехугольник $BCDK$. По определению трапеции, основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$), а значит, и $BC \parallel KD$, так как точка $K$ лежит на $AD$. По условию, $BK \parallel CD$. Поскольку противолежащие стороны четырехугольника $BCDK$ попарно параллельны, то $BCDK$ — параллелограмм.

2. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны. Следовательно, $CD = BK$ и $BC = KD$.Из условия известно, что $BK = 14$ см, значит $CD = 14$ см.

3. Трапеция $ABCD$ — равнобокая, поэтому ее боковые стороны равны: $AB = CD$. Так как $CD = 14$ см, то и $AB = 14$ см.

4. В равнобокой трапеции углы при основании равны, следовательно, $\angle CDA = \angle BAD = 60^\circ$.

5. Рассмотрим параллельные прямые $BK$ и $CD$ и секущую $AD$. Углы $\angle BKA$ и $\angle CDA$ являются соответственными, поэтому они равны. Значит, $\angle BKA = \angle CDA = 60^\circ$.

6. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABK$. Мы знаем два его угла: $\angle BAK = \angle BAD = 60^\circ$ и $\angle BKA = 60^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle ABK = 180^\circ - \angle BAK - \angle BKA = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.

7. Так как все три угла в треугольнике $\triangle ABK$ равны $60^\circ$, этот треугольник является равносторонним. Значит, все его стороны равны: $AK = AB = BK$. Поскольку $BK = 14$ см, то $AK = 14$ см.

8. Длина большего основания $AD$ состоит из суммы длин отрезков $AK$ и $KD$: $AD = AK + KD$. Мы знаем, что $AD = 20$ см и $AK = 14$ см. Можем найти $KD$:
$KD = AD - AK = 20 - 14 = 6$ см.

9. Из пункта 2 мы знаем, что $BC = KD$. Следовательно, длина меньшего основания $BC = 6$ см.

10. Теперь мы знаем длины всех сторон трапеции: $AB = 14$ см, $BC = 6$ см, $CD = 14$ см, $AD = 20$ см. Найдем периметр $P_{ABCD}$ как сумму длин всех сторон:
$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 14 + 6 + 14 + 20 = 54$ см.

Ответ: 54 см.