Номер 74, страница 45 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

74. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 18 см. Найдите отрезки, на которые высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание.

74. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 18 см. Найдите отрезки, на которые высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причём $AD$ — большее основание. По условию задачи, длины оснований равны $BC = 10$ см и $AD = 18$ см.

Проведём высоту $BH$ из вершины тупого угла $B$ на большее основание $AD$. Эта высота разделит основание $AD$ на два отрезка: $AH$ и $HD$. Наша задача — найти длины этих отрезков.

Для решения задачи проведём также вторую высоту $CK$ из вершины $C$ на то же основание $AD$.

Поскольку трапеция $ABCD$ является равнобокой, боковые стороны равны ($AB = CD$), и углы при основании равны. Прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по гипотенузе и катету ($AB = CD$ и $BH = CK$ как высоты трапеции).

Из равенства треугольников следует равенство их катетов: $AH = KD$.

Четырёхугольник $HBCK$ является прямоугольником, так как его стороны $BC$ и $HK$ параллельны ($BC \parallel AD$), а углы при основании $AD$ — прямые ($BH \perp AD$ и $CK \perp AD$). Следовательно, длина отрезка $HK$ равна длине меньшего основания $BC$: $HK = BC = 10$ см.

Большее основание $AD$ состоит из трёх отрезков: $AD = AH + HK + KD$.

Заменив $KD$ на равный ему отрезок $AH$ и $HK$ на его известную длину, получим:$AD = AH + 10 + AH = 2 \cdot AH + 10$

Подставим известное значение длины $AD$:$18 = 2 \cdot AH + 10$

Теперь решим это уравнение относительно $AH$:$2 \cdot AH = 18 - 10$$2 \cdot AH = 8$$AH = \frac{8}{2} = 4$ см.

Мы нашли длину одного из отрезков. Длина второго отрезка, $HD$, равна сумме длин $HK$ и $KD$:$HD = HK + KD$Так как $KD = AH = 4$ см, а $HK = 10$ см, то:$HD = 10 + 4 = 14$ см.

Таким образом, высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки длиной 4 см и 14 см.

Ответ: 4 см и 14 см.