Номер 71, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

71. Боковая сторона равнобокой трапеции равна большему основанию, а диагональ трапеции образует с основанием угол $48^\circ$. Найдите углы трапеции.

71. Боковая сторона равнобокой трапеции равна большему основанию, а диагональ трапеции образует с основанием угол $48^{\circ}$. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD — большее основание, BC — меньшее основание, а AB и CD — боковые стороны.

По условию, трапеция равнобокая, поэтому $AB = CD$, а углы при основаниях равны: $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$. Также известно, что боковая сторона равна большему основанию, $CD = AD$. Диагональ, например AC, образует с основанием AD угол $48^\circ$, то есть $\angle CAD = 48^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Так как по условию $CD = AD$, то $\triangle ACD$ является равнобедренным с основанием AC.

В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны. В данном случае это углы, противолежащие сторонам AD и CD, то есть $\angle ACD$ и $\angle CAD$ соответственно. Таким образом, $\angle ACD = \angle CAD = 48^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол треугольника $\triangle ACD$, который также является углом трапеции $\angle D$:

$\angle D = \angle ADC = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ACD) = 180^\circ - (48^\circ + 48^\circ) = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ$.

Поскольку трапеция равнобокая, углы при большем основании равны, следовательно, $\angle A = \angle D = 84^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, составляет $180^\circ$. Найдем углы при меньшем основании:

$\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$.

Так как трапеция равнобокая, второй угол при меньшем основании $\angle B$ равен $\angle C$, то есть $\angle B = 96^\circ$.

Итак, углы трапеции равны $84^\circ$ и $96^\circ$.

Ответ: $84^\circ, 96^\circ, 96^\circ, 84^\circ$.