Номер 70, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 16 см, а её высота, проведённая из вершины тупого угла, делит основание в отношении 7 : 2, считая от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции.

70. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 16 см, а её высота, проведённая из вершины тупого угла, делит основание в отношении 7 : 2, считая от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция с основаниями $a$ (большее) и $b$ (меньшее).

Средняя линия трапеции $m$ вычисляется по формуле: $m = \frac{a+b}{2}$

По условию задачи, средняя линия равна 16 см. Подставим это значение в формулу: $16 = \frac{a+b}{2}$

Из этого уравнения выразим сумму оснований: $a + b = 16 \cdot 2 = 32$ см.

Проведем высоту из вершины тупого угла на большее основание. В прямоугольной трапеции эта высота отсекает на большем основании отрезок, равный меньшему основанию. Обозначим этот отрезок как $x_1$. Таким образом, $x_1 = b$.

Высота делит большее основание на два отрезка, $x_1$ и $x_2$. По условию, эти отрезки находятся в отношении 7:2, считая от вершины прямого угла. Это значит: $x_1 : x_2 = 7 : 2$

Так как $x_1 = b$, мы можем записать: $b : x_2 = 7 : 2$

Пусть $k$ — коэффициент пропорциональности. Тогда $b = 7k$ и $x_2 = 2k$.

Большее основание $a$ равно сумме отрезков $x_1$ и $x_2$: $a = x_1 + x_2 = b + x_2 = 7k + 2k = 9k$

Теперь у нас есть выражения для обоих оснований через коэффициент $k$: $a = 9k$ и $b = 7k$. Подставим их в уравнение для суммы оснований: $a + b = 32$ $9k + 7k = 32$ $16k = 32$ $k = \frac{32}{16} = 2$

Зная значение $k$, мы можем найти длины оснований: Меньшее основание: $b = 7k = 7 \cdot 2 = 14$ см. Большее основание: $a = 9k = 9 \cdot 2 = 18$ см.

Ответ: основания трапеции равны 14 см и 18 см.