Номер 77, страница 45 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

77. Основания равнобокой трапеции равны 14 см и 18 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите высоту трапеции.

77. Основания равнобокой трапеции равны 14 см и 18 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите высоту трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция с основаниями $a$ и $b$, где большее основание $a = 18$ см и меньшее основание $b = 14$ см. Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке $O$ под прямым углом.

В равнобокой трапеции треугольники, образованные пересечением диагоналей и основаниями, являются равнобедренными. Так как по условию диагонали перпендикулярны, то эти треугольники являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

Проведем высоту трапеции $h$ через точку пересечения диагоналей $O$. Эта высота будет состоять из двух отрезков: $h_a$ (высота треугольника, опирающегося на основание $a$) и $h_b$ (высота треугольника, опирающегося на основание $b$).

Высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы. Основания трапеции являются гипотенузами для этих треугольников.

Высота треугольника, опирающегося на большее основание, равна:

$h_a = \frac{a}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Высота треугольника, опирающегося на меньшее основание, равна:

$h_b = \frac{b}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.

Общая высота трапеции $h$ равна сумме высот этих двух треугольников:

$h = h_a + h_b = 9 + 7 = 16$ см.

Примечательно, что высота равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями всегда равна полусумме её оснований: $h = \frac{a+b}{2}$.

Ответ: 16 см.