Номер 78, страница 45 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

78. В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ соответственно равны 8 см и 20 см. Через точку $M$ — середину боковой стороны $CD$ — проведена прямая, пересекающая основание $AD$ в точке $N$ такой, что $DN = 6$ см. Найдите отрезок $MN$, если $AB = 18$ см.

78. В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ соответственно равны 8 см и 20 см. Через точку $M$ — середину боковой стороны $CD$ — проведена прямая, пересекающая основание $AD$ в точке $N$ такой, что $DN = 6$ см. Найдите отрезок $MN$, если $AB = 18$ см.

Для решения задачи выполним дополнительное построение. Проведем через вершину $C$ трапеции прямую, параллельную боковой стороне $AB$. Пусть эта прямая пересекает основание $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCE$. В нем стороны $BC$ и $AE$ параллельны, так как они лежат на параллельных основаниях трапеции ($BC \parallel AD$). Стороны $AB$ и $CE$ параллельны по нашему построению. Таким образом, $ABCE$ — это параллелограмм.

По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны. Отсюда следует:

• $AE = BC = 8$ см.
• $CE = AB = 18$ см.

Теперь мы можем найти длину отрезка $ED$, который является частью основания $AD$.

$ED = AD - AE = 20 \text{ см} - 8 \text{ см} = 12$ см.

По условию задачи, точка $N$ лежит на основании $AD$ и $DN = 6$ см. Сравнивая длины отрезков $ED$ и $DN$, мы видим, что $DN = \frac{1}{2} ED$ ($6 = \frac{1}{2} \cdot 12$). Это означает, что точка $N$ является серединой отрезка $ED$.

Теперь рассмотрим треугольник $CED$. В этом треугольнике:

• Точка $M$ является серединой стороны $CD$ (по условию задачи).
• Точка $N$ является серединой стороны $ED$ (как мы только что установили).

Отрезок $MN$ соединяет середины двух сторон треугольника $CED$. Следовательно, $MN$ является средней линией этого треугольника.

По теореме о средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна ее половине. В нашем случае, третья сторона — это $CE$.

$MN = \frac{1}{2} CE$

Подставляем найденное ранее значение $CE = 18$ см:

$MN = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см.

Ответ: 9 см.