Номер 72, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Одна из диагоналей трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием угол $23^\circ$. Найдите углы трапеции, если её меньшее основание равно второй боковой стороне.

72. Одна из диагоналей трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием угол $23^\circ$. Найдите углы трапеции, если её меньшее основание равно второй боковой стороне.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания (AD > BC), а AB и CD — боковые стороны.

Из условия задачи следует:
1. Одна из диагоналей перпендикулярна боковой стороне. Допустим, диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD. Это означает, что треугольник ACD — прямоугольный, и $∠ACD = 90°$.
2. Эта же диагональ (AC) образует с основанием (пусть это будет большее основание AD) угол 23°. Таким образом, $∠CAD = 23°$.
3. Меньшее основание (BC) равно второй боковой стороне (AB). То есть, $BC = AB$.

Найдём углы трапеции, выполнив следующие шаги:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Мы знаем два угла: $∠ACD = 90°$ и $∠CAD = 23°$. Можем найти третий угол $∠D$ (он же $∠CDA$):
$∠CDA = 180° - ∠ACD - ∠CAD = 180° - 90° - 23° = 67°$.

2. В трапеции основания параллельны ($BC \parallel AD$). Диагональ AC является секущей. Углы $∠BCA$ и $∠CAD$ являются внутренними накрест лежащими, следовательно, они равны:
$∠BCA = ∠CAD = 23°$.

3. По условию, меньшее основание $BC$ равно боковой стороне $AB$. Это значит, что треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием AC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:
$∠BAC = ∠BCA = 23°$.

4. Теперь мы можем найти полные углы трапеции при вершинах A и C.
Угол $A$ ($∠DAB$) состоит из двух углов, $∠BAC$ и $∠CAD$:
$∠DAB = ∠BAC + ∠CAD = 23° + 23° = 46°$.
Угол $C$ ($∠BCD$) состоит из двух углов, $∠BCA$ и $∠ACD$:
$∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = 23° + 90° = 113°$.

5. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна 180°. Используем это свойство для нахождения последнего угла $B$ ($∠ABC$):
$∠ABC + ∠DAB = 180°$
$∠ABC = 180° - ∠DAB = 180° - 46° = 134°$.

Проверим для второй боковой стороны: $∠BCD + ∠CDA = 113° + 67° = 180°$. Все верно.

Ответ: углы трапеции равны 46°, 134°, 113°, 67°.