Страница 44 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

61. Точки $E$, $T$, $F$ и $S$ — середины сторон $AD$ и $BC$ и диагоналей $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$ соответственно. Найдите сторону $ST$ четырёхугольника $EFTS$, если $EF = 14$ см.

61. Точки E, T, F и S – середины сторон AD и BC и диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD соответственно. Найдите сторону ST четырёхугольника EFTS, если $EF = 14$ см.

Дано:

ABCD – произвольный четырехугольник.
E – середина стороны AD.
T – середина стороны BC.
F – середина диагонали AC.
S – середина диагонали BD.
EF = 14 см.

Найти:

Длину стороны ST.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ADC. По условию, точка E – середина стороны AD, а точка F – середина стороны AC. Следовательно, отрезок EF является средней линией треугольника ADC. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом, $EF = \frac{1}{2}DC$.

2. Рассмотрим треугольник BDC. По условию, точка T – середина стороны BC, а точка S – середина стороны BD. Следовательно, отрезок ST является средней линией треугольника BDC. По свойству средней линии треугольника, она также параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом, $ST = \frac{1}{2}DC$.

3. Из пунктов 1 и 2 мы получили два равенства: $EF = \frac{1}{2}DC$ и $ST = \frac{1}{2}DC$. Отсюда следует, что $EF = ST$. Так как по условию задачи $EF = 14$ см, то и $ST = 14$ см.

Кстати, четырехугольник EFTS является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно равны и параллельны (аналогично доказывается, что $ES = FT = \frac{1}{2}AB$).

Ответ: 14 см.

62. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены соответственно точки $D$ и $E$ такие, что $CD : DA = CE : EB = 1 : 3$. Найдите отрезок $DE$, если $AB = 24$ см.

62. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены соответственно точки $D$ и $E$ такие, что $CD : DA = CE : EB = 1 : 3$. Найдите отрезок $DE$, если $AB = 24$ см.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DEC$.

1. Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников ($\angle ACB = \angle DCE$).

2. По условию задачи даны отношения: $CD : DA = 1 : 3$ и $CE : EB = 1 : 3$.

Найдем отношение длин сторон, прилежащих к общему углу $\angle C$.

Из отношения $CD : DA = 1 : 3$ следует, что отрезок $AC$ можно представить как сумму $CD + DA = 1$ часть $+ 3$ части $= 4$ части. Таким образом, отношение длины отрезка $CD$ к длине стороны $AC$ равно:

$\frac{CD}{AC} = \frac{CD}{CD + DA} = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$

Аналогично, из отношения $CE : EB = 1 : 3$ следует, что сторона $BC$ состоит из $1+3=4$ частей. Отношение длины отрезка $CE$ к длине стороны $BC$ равно:

$\frac{CE}{BC} = \frac{CE}{CE + EB} = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$

3. Поскольку две стороны одного треугольника ($CD$ и $CE$) пропорциональны двум сторонам другого треугольника ($AC$ и $BC$) с одинаковым коэффициентом пропорциональности ($\frac{CD}{AC} = \frac{CE}{BC} = \frac{1}{4}$), а углы, заключенные между этими сторонами, равны ($\angle C$ — общий), то треугольники $DEC$ и $ABC$ подобны по второму признаку подобия треугольников.

Из подобия треугольников следует, что отношение всех их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия, который в данном случае равен $\frac{1}{4}$.

$\frac{DE}{AB} = \frac{CD}{AC} = \frac{CE}{BC} = \frac{1}{4}$

Нам известна длина стороны $AB = 24$ см. Найдем длину отрезка $DE$:

$\frac{DE}{24} = \frac{1}{4}$

$DE = \frac{1}{4} \cdot 24 = 6$ см.

Ответ: 6 см.

63. Два угла трапеции равны $37^\circ$ и $126^\circ$. Найдите два других её угла.

63. Два угла трапеции равны $37^\circ$ и $126^\circ$. Найдите два других её угла.

Основное свойство углов трапеции заключается в том, что сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, всегда равна $180^{\circ}$. Это следует из того, что основания трапеции параллельны, а боковая сторона является секущей.

В задаче даны два угла: $37^{\circ}$ и $126^{\circ}$.

Сначала проверим, могут ли эти углы быть прилежащими к одной боковой стороне. Для этого найдем их сумму:

$37^{\circ} + 126^{\circ} = 163^{\circ}$

Так как $163^{\circ} \ne 180^{\circ}$, данные углы не могут прилежать к одной боковой стороне. Это означает, что каждый из данных углов прилежит к своей боковой стороне. Следовательно, для нахождения двух других углов нужно найти углы, которые в сумме с данными дают $180^{\circ}$.

Найдем первый неизвестный угол, который вместе с углом $37^{\circ}$ прилежит к одной боковой стороне:

$180^{\circ} - 37^{\circ} = 143^{\circ}$

Найдем второй неизвестный угол, который прилежит к другой боковой стороне вместе с углом $126^{\circ}$:

$180^{\circ} - 126^{\circ} = 54^{\circ}$

Таким образом, два других угла трапеции равны $143^{\circ}$ и $54^{\circ}$.

Для проверки можно сложить все четыре угла трапеции. Сумма углов четырехугольника должна быть равна $360^{\circ}$:

$37^{\circ} + 126^{\circ} + 143^{\circ} + 54^{\circ} = 360^{\circ}$

Сумма верна, значит, углы найдены правильно.

Ответ: $143^{\circ}$ и $54^{\circ}$.

64. Найдите углы равнобокой трапеции, если один из её противолежащих углов в 5 раз больше другого.

64.Найдите углы равнобокой трапеции, если один из её противолежащих углов в 5 раз больше другого.

Пусть дана равнобокая трапеция. Одно из ключевых свойств равнобокой трапеции заключается в том, что сумма её противолежащих углов равна $180^\circ$ (поскольку любую равнобокую трапецию можно вписать в окружность).

Обозначим один из противолежащих углов как $x$. Согласно условию задачи, другой противолежащий угол будет в 5 раз больше, то есть $5x$.

Составим уравнение, используя свойство о сумме противолежащих углов: $x + 5x = 180^\circ$

Решим это уравнение: $6x = 180^\circ$ $x = \frac{180^\circ}{6}$ $x = 30^\circ$

Таким образом, один угол трапеции равен $30^\circ$. Второй, противолежащий ему, равен: $5x = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$

В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Следовательно, в трапеции будет два угла по $30^\circ$ (острые углы при большем основании) и два угла по $150^\circ$ (тупые углы при меньшем основании).

Проверка: сумма углов, прилежащих к боковой стороне, должна быть $180^\circ$. $30^\circ + 150^\circ = 180^\circ$. Условие выполняется.

Ответ: углы равнобокой трапеции равны 30°, 150°, 30°, 150°.

65. В прямоугольной трапеции острый угол в 4 раза меньше тупого. Найдите углы трапеции.

65. В прямоугольной трапеции острый угол в 4 раза меньше тупого. Найдите углы трапеции.

Пусть в прямоугольной трапеции величина острого угла равна $x$. По условию задачи, острый угол в 4 раза меньше тупого, значит, тупой угол равен $4x$.

Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Углы, прилежащие к этой стороне, являются прямыми, то есть равны $90^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к другой (наклонной) боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. В нашем случае это острый и тупой углы. Составим и решим уравнение:
$x + 4x = 180^\circ$
$5x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{5}$
$x = 36^\circ$

Таким образом, острый угол равен $36^\circ$.

Теперь найдем величину тупого угла:
$4x = 4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$

Итак, углы трапеции равны $90^\circ$, $90^\circ$, $36^\circ$ и $144^\circ$.

Ответ: $36^\circ$, $90^\circ$, $90^\circ$, $144^\circ$.

66. Высота равнобокой трапеции, проведённая из вершины острого угла, образует с боковой стороной угол $24^\circ$. Найдите углы трапеции.

66. Высота равнобокой трапеции, проведённая из вершины острого угла, образует с боковой стороной угол $24^\circ$. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны. Углы при большем основании AD являются острыми, а при меньшем основании BC — тупыми. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны: $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$.

Проведем высоту BH из вершины тупого угла B на большее основание AD. В результате мы получаем прямоугольный треугольник ABH, в котором катеты — это высота BH и отрезок AH, а гипотенуза — боковая сторона AB. Угол $\angle BHA$ прямой и равен $90^\circ$.

Согласно условию задачи, угол между высотой BH и боковой стороной AB составляет $24^\circ$. Следовательно, $\angle ABH = 24^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна $90^\circ$. Используя это свойство для треугольника ABH, найдем угол $\angle BAH$, который является острым углом трапеции:

$\angle BAH = 90^\circ - \angle ABH$

$\angle BAH = 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ$

Итак, острые углы трапеции равны $66^\circ$. То есть $\angle A = \angle D = 66^\circ$.

В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Найдем тупой угол $\angle B$, прилежащий к стороне AB:

$\angle B = 180^\circ - \angle A$

$\angle B = 180^\circ - 66^\circ = 114^\circ$

Поскольку трапеция равнобокая, второй тупой угол $\angle C$ равен углу $\angle B$. Таким образом, $\angle C = 114^\circ$.

В результате мы нашли все углы трапеции.

Ответ: углы трапеции равны $66^\circ, 114^\circ, 114^\circ, 66^\circ$.

67. Найдите среднюю линию трапеции, если её основания равны 7 см и 9 см.

67. Найдите среднюю линию трапеции, если её основания равны 7 см и 9 см.

67.

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Длина средней линии равна полусумме длин оснований трапеции.

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а средняя линия — $m$. По условию задачи, $a = 7$ см и $b = 9$ см.

Формула для нахождения длины средней линии трапеции:

$m = \frac{a + b}{2}$

Подставим значения оснований в формулу:

$m = \frac{7 \text{ см} + 9 \text{ см}}{2} = \frac{16 \text{ см}}{2} = 8 \text{ см}$

Таким образом, длина средней линии трапеции составляет 8 см.

Ответ: 8 см.

68. Одно из оснований трапеции равно 9 см, а средняя линия — 5 см. Найдите второе основание трапеции.

68. Одно из оснований трапеции равно 9 см, а средняя линия — 5 см. Найдите второе основание трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований. Если обозначить основания трапеции как $a$ и $b$, а среднюю линию как $m$, то формула для ее вычисления выглядит следующим образом:

$m = \frac{a + b}{2}$

В условии задачи даны следующие значения:

• Одно из оснований, пусть $a = 9$ см.
• Средняя линия $m = 5$ см.

Необходимо найти второе основание $b$. Для этого подставим известные значения в формулу:

$5 = \frac{9 + b}{2}$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $b$. Сначала умножим обе части уравнения на 2:

$5 \cdot 2 = 9 + b$

$10 = 9 + b$

Далее, чтобы найти $b$, вычтем 9 из 10:

$b = 10 - 9$

$b = 1$

Таким образом, второе основание трапеции равно 1 см.

Ответ: 1 см.

69. Средняя линия трапеции равна 36 см, а одно из оснований больше другого в 3 раза. Найдите основания трапеции.

69. Средняя линия трапеции равна 36 см, а одно из оснований больше другого в 3 раза. Найдите основания трапеции.

Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$, где $a$ — меньшее основание, а $b$ — большее. Средняя линия трапеции обозначим как $m$.

По условию задачи, средняя линия $m = 36$ см.

Также известно, что одно из оснований в 3 раза больше другого. Это можно записать в виде соотношения:

$b = 3a$

Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, что выражается формулой:

$m = \frac{a + b}{2}$

Подставим известные значения в эту формулу. Заменим $m$ на 36 и $b$ на $3a$:

$36 = \frac{a + 3a}{2}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:

$36 = \frac{4a}{2}$

$36 = 2a$

$a = \frac{36}{2}$

$a = 18$ см

Мы нашли длину меньшего основания. Теперь найдем длину большего основания, используя соотношение $b = 3a$:

$b = 3 \times 18 = 54$ см

Таким образом, основания трапеции равны 18 см и 54 см.

Ответ: 18 см и 54 см.

70. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 16 см, а её высота, проведённая из вершины тупого угла, делит основание в отношении 7 : 2, считая от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции.

70. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 16 см, а её высота, проведённая из вершины тупого угла, делит основание в отношении 7 : 2, считая от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция с основаниями $a$ (большее) и $b$ (меньшее).

Средняя линия трапеции $m$ вычисляется по формуле: $m = \frac{a+b}{2}$

По условию задачи, средняя линия равна 16 см. Подставим это значение в формулу: $16 = \frac{a+b}{2}$

Из этого уравнения выразим сумму оснований: $a + b = 16 \cdot 2 = 32$ см.

Проведем высоту из вершины тупого угла на большее основание. В прямоугольной трапеции эта высота отсекает на большем основании отрезок, равный меньшему основанию. Обозначим этот отрезок как $x_1$. Таким образом, $x_1 = b$.

Высота делит большее основание на два отрезка, $x_1$ и $x_2$. По условию, эти отрезки находятся в отношении 7:2, считая от вершины прямого угла. Это значит: $x_1 : x_2 = 7 : 2$

Так как $x_1 = b$, мы можем записать: $b : x_2 = 7 : 2$

Пусть $k$ — коэффициент пропорциональности. Тогда $b = 7k$ и $x_2 = 2k$.

Большее основание $a$ равно сумме отрезков $x_1$ и $x_2$: $a = x_1 + x_2 = b + x_2 = 7k + 2k = 9k$

Теперь у нас есть выражения для обоих оснований через коэффициент $k$: $a = 9k$ и $b = 7k$. Подставим их в уравнение для суммы оснований: $a + b = 32$ $9k + 7k = 32$ $16k = 32$ $k = \frac{32}{16} = 2$

Зная значение $k$, мы можем найти длины оснований: Меньшее основание: $b = 7k = 7 \cdot 2 = 14$ см. Большее основание: $a = 9k = 9 \cdot 2 = 18$ см.

Ответ: основания трапеции равны 14 см и 18 см.

71. Боковая сторона равнобокой трапеции равна большему основанию, а диагональ трапеции образует с основанием угол $48^\circ$. Найдите углы трапеции.

71. Боковая сторона равнобокой трапеции равна большему основанию, а диагональ трапеции образует с основанием угол $48^{\circ}$. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD — большее основание, BC — меньшее основание, а AB и CD — боковые стороны.

По условию, трапеция равнобокая, поэтому $AB = CD$, а углы при основаниях равны: $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$. Также известно, что боковая сторона равна большему основанию, $CD = AD$. Диагональ, например AC, образует с основанием AD угол $48^\circ$, то есть $\angle CAD = 48^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Так как по условию $CD = AD$, то $\triangle ACD$ является равнобедренным с основанием AC.

В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны. В данном случае это углы, противолежащие сторонам AD и CD, то есть $\angle ACD$ и $\angle CAD$ соответственно. Таким образом, $\angle ACD = \angle CAD = 48^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол треугольника $\triangle ACD$, который также является углом трапеции $\angle D$:

$\angle D = \angle ADC = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ACD) = 180^\circ - (48^\circ + 48^\circ) = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ$.

Поскольку трапеция равнобокая, углы при большем основании равны, следовательно, $\angle A = \angle D = 84^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, составляет $180^\circ$. Найдем углы при меньшем основании:

$\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$.

Так как трапеция равнобокая, второй угол при меньшем основании $\angle B$ равен $\angle C$, то есть $\angle B = 96^\circ$.

Итак, углы трапеции равны $84^\circ$ и $96^\circ$.

Ответ: $84^\circ, 96^\circ, 96^\circ, 84^\circ$.

72. Одна из диагоналей трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием угол $23^\circ$. Найдите углы трапеции, если её меньшее основание равно второй боковой стороне.

72. Одна из диагоналей трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием угол $23^\circ$. Найдите углы трапеции, если её меньшее основание равно второй боковой стороне.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания (AD > BC), а AB и CD — боковые стороны.

Из условия задачи следует:
1. Одна из диагоналей перпендикулярна боковой стороне. Допустим, диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD. Это означает, что треугольник ACD — прямоугольный, и $∠ACD = 90°$.
2. Эта же диагональ (AC) образует с основанием (пусть это будет большее основание AD) угол 23°. Таким образом, $∠CAD = 23°$.
3. Меньшее основание (BC) равно второй боковой стороне (AB). То есть, $BC = AB$.

Найдём углы трапеции, выполнив следующие шаги:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Мы знаем два угла: $∠ACD = 90°$ и $∠CAD = 23°$. Можем найти третий угол $∠D$ (он же $∠CDA$):
$∠CDA = 180° - ∠ACD - ∠CAD = 180° - 90° - 23° = 67°$.

2. В трапеции основания параллельны ($BC \parallel AD$). Диагональ AC является секущей. Углы $∠BCA$ и $∠CAD$ являются внутренними накрест лежащими, следовательно, они равны:
$∠BCA = ∠CAD = 23°$.

3. По условию, меньшее основание $BC$ равно боковой стороне $AB$. Это значит, что треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием AC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:
$∠BAC = ∠BCA = 23°$.

4. Теперь мы можем найти полные углы трапеции при вершинах A и C.
Угол $A$ ($∠DAB$) состоит из двух углов, $∠BAC$ и $∠CAD$:
$∠DAB = ∠BAC + ∠CAD = 23° + 23° = 46°$.
Угол $C$ ($∠BCD$) состоит из двух углов, $∠BCA$ и $∠ACD$:
$∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = 23° + 90° = 113°$.

5. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна 180°. Используем это свойство для нахождения последнего угла $B$ ($∠ABC$):
$∠ABC + ∠DAB = 180°$
$∠ABC = 180° - ∠DAB = 180° - 46° = 134°$.

Проверим для второй боковой стороны: $∠BCD + ∠CDA = 113° + 67° = 180°$. Все верно.

Ответ: углы трапеции равны 46°, 134°, 113°, 67°.