Номер 61, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

61. Точки $E$, $T$, $F$ и $S$ — середины сторон $AD$ и $BC$ и диагоналей $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$ соответственно. Найдите сторону $ST$ четырёхугольника $EFTS$, если $EF = 14$ см.

61. Точки E, T, F и S – середины сторон AD и BC и диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD соответственно. Найдите сторону ST четырёхугольника EFTS, если $EF = 14$ см.

Дано:

ABCD – произвольный четырехугольник.
E – середина стороны AD.
T – середина стороны BC.
F – середина диагонали AC.
S – середина диагонали BD.
EF = 14 см.

Найти:

Длину стороны ST.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ADC. По условию, точка E – середина стороны AD, а точка F – середина стороны AC. Следовательно, отрезок EF является средней линией треугольника ADC. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом, $EF = \frac{1}{2}DC$.

2. Рассмотрим треугольник BDC. По условию, точка T – середина стороны BC, а точка S – середина стороны BD. Следовательно, отрезок ST является средней линией треугольника BDC. По свойству средней линии треугольника, она также параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом, $ST = \frac{1}{2}DC$.

3. Из пунктов 1 и 2 мы получили два равенства: $EF = \frac{1}{2}DC$ и $ST = \frac{1}{2}DC$. Отсюда следует, что $EF = ST$. Так как по условию задачи $EF = 14$ см, то и $ST = 14$ см.

Кстати, четырехугольник EFTS является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно равны и параллельны (аналогично доказывается, что $ES = FT = \frac{1}{2}AB$).

Ответ: 14 см.