Номер 57, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Периметр треугольника, вершины которого — середины сторон данного треугольника, равен 54 см, а стороны данного треугольника относятся как $3 : 7 : 8$. Найдите стороны данного треугольника.

57. Периметр треугольника, вершины которого — середины сторон данного треугольника, равен 54 см, а стороны данного треугольника относятся как $3 : 7 : 8$. Найдите стороны данного треугольника.

Пусть стороны данного треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Треугольник, вершины которого являются серединами сторон данного треугольника, образован его средними линиями.

Согласно свойству средней линии треугольника, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. Таким образом, стороны нового треугольника, образованного серединами сторон, равны $\frac{a}{2}$, $\frac{b}{2}$ и $\frac{c}{2}$.

Периметр этого нового треугольника $P_{нов}$ равен сумме длин его сторон:
$P_{нов} = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = \frac{a+b+c}{2}$

Выражение $a+b+c$ является периметром исходного (данного) треугольника $P_{дан}$. Таким образом, $P_{нов} = \frac{1}{2} P_{дан}$.

Из условия задачи известно, что периметр нового треугольника равен 54 см. Можем найти периметр данного треугольника:
$P_{дан} = 2 \times P_{нов} = 2 \times 54 = 108$ см.

Стороны данного треугольника относятся как $3:7:8$. Пусть длины сторон равны $3x$, $7x$ и $8x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности.

Периметр данного треугольника также равен сумме его сторон:
$P_{дан} = 3x + 7x + 8x = 18x$

Теперь приравняем два полученных выражения для периметра данного треугольника и найдем $x$:
$18x = 108$
$x = \frac{108}{18}$
$x = 6$

Теперь мы можем вычислить длины сторон данного треугольника:
Первая сторона: $3x = 3 \times 6 = 18$ см.
Вторая сторона: $7x = 7 \times 6 = 42$ см.
Третья сторона: $8x = 8 \times 6 = 54$ см.

Ответ: стороны данного треугольника равны 18 см, 42 см и 54 см.