Страница 43 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

50. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $AC = BC$. Две стороны квадрата $CKPF$ лежат на катетах треугольника $ABC$, а вершина $P$ принадлежит гипотенузе $AB$. Найдите катет треугольника, если $CK = 4$ см.

50. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $AC = BC$. Две стороны квадрата $CKPF$ лежат на катетах треугольника $ABC$, а вершина $P$ принадлежит гипотенузе $AB$. Найдите катет треугольника, если $CK = 4$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ является прямоугольным и равнобедренным ($AC = BC$), его углы при гипотенузе равны 45 градусам:
$∠A = ∠B = (180° - 90°) / 2 = 45°$.

Согласно условию, квадрат $CKPF$ расположен так, что его вершина $C$ совпадает с вершиной прямого угла треугольника $ABC$. Сторона $CF$ лежит на катете $AC$, а сторона $CK$ – на катете $BC$. Вершина $P$ находится на гипотенузе $AB$.

Длина стороны квадрата дана: $CK = 4$ см. Следовательно, все стороны квадрата равны 4 см:
$CK = KP = PF = FC = 4$ см.

Рассмотрим треугольник $AFP$.
Вершина $F$ квадрата лежит на катете $AC$. Сторона квадрата $PF$ перпендикулярна стороне $FC$. Так как отрезок $FC$ является частью катета $AC$, то сторона $PF$ перпендикулярна катету $AC$. Это означает, что угол $∠PFA = 90°$, и треугольник $AFP$ — прямоугольный.

В треугольнике $AFP$ известны два угла: $∠A = 45°$ и $∠PFA = 90°$. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому третий угол:
$∠APF = 180° - 90° - 45° = 45°$.

Так как в треугольнике $AFP$ два угла равны ($∠A = ∠APF = 45°$), он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $AF = PF$.

Длина стороны $PF$ квадрата равна 4 см, следовательно, $AF = 4$ см.

Катет $AC$ треугольника $ABC$ состоит из двух отрезков: $AF$ и $FC$. Его длина равна их сумме:
$AC = AF + FC$.
Подставим известные значения:
$AC = 4$ см $+ 4$ см $= 8$ см.

Ответ: 8 см.

51. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник. Квадрат со стороной 5 см построен так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах данного треугольника. Найдите гипотенузу треугольника.

51. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник. Квадрат со стороной 5 см построен так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах данного треугольника. Найдите гипотенузу треугольника.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ и гипотенузой $AB$. Поскольку треугольник равнобедренный и прямоугольный, его острые углы при гипотенузе равны $45^\circ$, то есть $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

По условию, в треугольник вписан квадрат со стороной 5 см. Обозначим его $DEFG$. Две его вершины, $F$ и $G$, лежат на гипотенузе $AB$, а две другие, $E$ и $D$, лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно. Из такого расположения следует, что сторона квадрата $FG$ лежит на отрезке $AB$, а стороны $EF$ и $DG$ перпендикулярны гипотенузе $AB$.

Рассмотрим треугольник $AFE$, образованный вершиной $A$, катетом $AC$ и стороной квадрата $EF$. В этом треугольнике:

• $\angle A = 45^\circ$ (угол исходного треугольника).
• $\angle AFE = 90^\circ$ (так как $EF \perp AB$).
• Следовательно, $\angle AEF = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку у треугольника $AFE$ два угла равны ($45^\circ$), он является равнобедренным. Значит, его катеты $AF$ и $EF$ равны. Длина $EF$ равна стороне квадрата, то есть 5 см. Следовательно, $AF = 5$ см.

Аналогично рассмотрим треугольник $BDG$, образованный вершиной $B$, катетом $BC$ и стороной квадрата $DG$. В этом треугольнике:

• $\angle B = 45^\circ$ (угол исходного треугольника).
• $\angle BGD = 90^\circ$ (так как $DG \perp AB$).
• Следовательно, $\angle BDG = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Треугольник $BDG$ также является равнобедренным, и его катеты $BG$ и $DG$ равны. Длина $DG$ равна стороне квадрата, то есть 5 см. Следовательно, $BG = 5$ см.

Гипотенуза $AB$ состоит из трех отрезков: $AF$, $FG$ и $GB$. Ее общая длина равна сумме длин этих отрезков:

$AB = AF + FG + GB$

Длина отрезка $FG$ равна стороне квадрата, то есть 5 см. Подставив все известные значения, получим:

$AB = 5 \text{ см} + 5 \text{ см} + 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$.

Ответ: 15 см.

52. На продолжении стороны $AD$ квадрата $ABCD$ за точку $D$ отметили точку $E$ такую, что луч $BE$ делит угол $ABC$ в отношении $1 : 2$. Найдите сторону квадрата, если $BE = 6$ см.

52. На продолжении стороны $AD$ квадрата $ABCD$ за точку $D$ отметили точку $E$ такую, что луч $BE$ делит угол $ABC$ в отношении $1 : 2$. Найдите сторону квадрата, если $BE = 6$ см.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда $AB = BC = CD = DA = a$.

Так как $ABCD$ — квадрат, его углы равны $90^\circ$. В частности, угол $\angle ABC = 90^\circ$.

По условию задачи, луч $BE$ делит угол $ABC$ в отношении $1 : 2$. Это означает, что $\angle ABE : \angle EBC = 1:2$.

Пусть $\angle ABE = \alpha$, тогда $\angle EBC = 2\alpha$. Сумма этих углов составляет $\angle ABC$:
$\angle ABE + \angle EBC = \angle ABC$
$\alpha + 2\alpha = 90^\circ$
$3\alpha = 90^\circ$
$\alpha = 30^\circ$
Следовательно, $\angle ABE = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABE$. Поскольку точка $E$ находится на продолжении стороны $AD$ за точку $D$, то прямая $AE$ перпендикулярна стороне $AB$ (так как $AD \perp AB$ в квадрате). Таким образом, угол $\angle BAE = 90^\circ$, и треугольник $ABE$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $ABE$ известны гипотенуза $BE = 6$ см и острый угол $\angle ABE = 30^\circ$. Катет $AB$ является стороной квадрата, которую необходимо найти. Этот катет прилежит к известному углу.

Для нахождения катета $AB$ воспользуемся определением косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:
$\cos(\angle ABE) = \frac{AB}{BE}$

Подставим известные значения в формулу:
$\cos(30^\circ) = \frac{AB}{6}$

Зная, что значение $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем уравнение:
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AB}{6}$

Из этого уравнения находим $AB$:
$AB = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Ответ: $3\sqrt{3}$ см.

53. Постройте квадрат по его диагонали.

53. Постройте квадрат по его диагонали.

Для построения квадрата по заданной диагонали с помощью циркуля и линейки необходимо использовать свойства диагоналей квадрата: они равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Анализ

Пусть дан отрезок $AC$, который является диагональю будущего квадрата $ABCD$. Диагонали квадрата пересекаются в его центре, обозначим эту точку как $O$. Точка $O$ является серединой обеих диагоналей. Вторая диагональ $BD$ должна быть равна диагонали $AC$, проходить через точку $O$ и быть перпендикулярной $AC$. Из этого следует, что отрезки $OA, OB, OC, OD$ должны быть равны между собой.

Построение

Алгоритм построения состоит из следующих шагов:

1. Начертим заданный отрезок $AC$, который будет служить первой диагональю квадрата.
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Для этого из точек $A$ и $C$ как из центров проведём две дуги окружности одинакового радиуса, который должен быть больше половины длины отрезка $AC$.
3. Через две точки пересечения этих дуг проведём прямую. Эта прямая будет являться серединным перпендикуляром к $AC$. Обозначим точку пересечения этой прямой с отрезком $AC$ как $O$. Точка $O$ — центр будущего квадрата.
4. Из точки $O$ проведём окружность с радиусом, равным длине отрезка $OA$ (или $OC$).
5. Эта окружность пересечёт серединный перпендикуляр в двух точках. Обозначим их $B$ и $D$. Эти точки будут двумя другими вершинами квадрата.
6. Последовательно соединим отрезками точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Полученный четырёхугольник $ABCD$ является искомым квадратом.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырёхугольник $ABCD$. По построению, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

• Прямая $BD$ является серединным перпендикуляром к $AC$, следовательно, $AC \perp BD$ и $AO = OC$.
• Точки $B$ и $D$ лежат на окружности с центром $O$ и радиусом $OA$, следовательно, $OB = OD = OA$.
• Из этого следует, что диагонали $AC$ и $BD$ равны ($AC = AO + OC = 2OA$, $BD = BO + OD = 2OA$) и точкой пересечения $O$ делятся пополам.

Так как у четырёхугольника $ABCD$ диагонали равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — квадрат.

Ответ: Искомый квадрат строится путем нахождения середины данной диагонали $AC$, проведения через неё перпендикуляра и откладывания на нём от середины в обе стороны отрезков, равных половине диагонали $AC$. Полученные концы отрезков вместе с концами исходной диагонали будут вершинами квадрата.

54. Найдите средние линии треугольника, если его стороны равны 6 см, 10 см и 15 см.

54. Найдите средние линии треугольника, если его стороны равны 6 см, 10 см и 15 см.

Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его сторон. По теореме о средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника, а ее длина равна половине длины этой стороны.

В задаче дан треугольник со сторонами $a = 6$ см, $b = 10$ см и $c = 15$ см. У каждого треугольника есть три средние линии, каждая из которых параллельна одной из сторон. Найдем длины этих средних линий.

1. Длина средней линии, параллельной стороне 6 см, равна половине этой стороны:
$m_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

2. Длина средней линии, параллельной стороне 10 см, равна половине этой стороны:
$m_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

3. Длина средней линии, параллельной стороне 15 см, равна половине этой стороны:
$m_3 = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7,5$ см.

Таким образом, длины средних линий треугольника составляют 3 см, 5 см и 7,5 см.

Ответ: 3 см, 5 см, 7,5 см.

55. Могут ли средние линии треугольника быть равными 4 см, 7 см и 11 см?

55. Могут ли средние линии треугольника быть равными 4 см, 7 см и 11 см?

55. Для того чтобы три отрезка могли образовать треугольник, необходимо, чтобы сумма длин любых двух из них была больше длины третьего. Это правило известно как неравенство треугольника.

Треугольник, образованный средними линиями, подобен исходному треугольнику, поэтому для длин средних линий также должно выполняться неравенство треугольника. Проверим это условие для заданных длин: 4 см, 7 см и 11 см.

Пусть длины средних линий равны $m_1 = 4$ см, $m_2 = 7$ см и $m_3 = 11$ см.

Проверим, выполняется ли неравенство для всех комбинаций сторон:

• $m_1 + m_2 > m_3 \implies 4 + 7 > 11 \implies 11 > 11$ (Неверно)
• $m_1 + m_3 > m_2 \implies 4 + 11 > 7 \implies 15 > 7$ (Верно)
• $m_2 + m_3 > m_1 \implies 7 + 11 > 4 \implies 18 > 4$ (Верно)

Поскольку одно из условий неравенства треугольника не выполняется ($4 + 7$ не больше $11$), треугольник с такими сторонами, а следовательно и с такими средними линиями, существовать не может. Сумма двух сторон равна третьей, что означает, что вершины такого "треугольника" лежали бы на одной прямой.

Ответ: Нет, не могут.

56. Периметр треугольника, образованного средними линиями данного треугольника, равен 12 см. Найдите периметр данного треугольника.

56. Периметр треугольника, образованного средними линиями данного треугольника, равен 12 см. Найдите периметр данного треугольника.

Пусть стороны данного треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Тогда его периметр $P$ равен сумме длин его сторон:
$P = a + b + c$.

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Согласно свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине.

Следовательно, треугольник, образованный тремя средними линиями данного треугольника, будет иметь стороны, длины которых равны $\frac{a}{2}$, $\frac{b}{2}$ и $\frac{c}{2}$.

Периметр этого нового треугольника ($P_{ср}$) равен сумме длин его сторон:
$P_{ср} = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = \frac{1}{2}(a+b+c)$.

Таким образом, мы видим, что периметр треугольника, образованного средними линиями, в два раза меньше периметра исходного треугольника:
$P_{ср} = \frac{1}{2}P$.

По условию задачи $P_{ср} = 12$ см. Подставим это значение в полученную формулу:
$12 = \frac{1}{2}P$.

Чтобы найти периметр данного треугольника $P$, умножим обе части уравнения на 2:
$P = 12 \cdot 2 = 24$ см.

Ответ: 24 см.

57. Периметр треугольника, вершины которого — середины сторон данного треугольника, равен 54 см, а стороны данного треугольника относятся как $3 : 7 : 8$. Найдите стороны данного треугольника.

57. Периметр треугольника, вершины которого — середины сторон данного треугольника, равен 54 см, а стороны данного треугольника относятся как $3 : 7 : 8$. Найдите стороны данного треугольника.

Пусть стороны данного треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Треугольник, вершины которого являются серединами сторон данного треугольника, образован его средними линиями.

Согласно свойству средней линии треугольника, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. Таким образом, стороны нового треугольника, образованного серединами сторон, равны $\frac{a}{2}$, $\frac{b}{2}$ и $\frac{c}{2}$.

Периметр этого нового треугольника $P_{нов}$ равен сумме длин его сторон:
$P_{нов} = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = \frac{a+b+c}{2}$

Выражение $a+b+c$ является периметром исходного (данного) треугольника $P_{дан}$. Таким образом, $P_{нов} = \frac{1}{2} P_{дан}$.

Из условия задачи известно, что периметр нового треугольника равен 54 см. Можем найти периметр данного треугольника:
$P_{дан} = 2 \times P_{нов} = 2 \times 54 = 108$ см.

Стороны данного треугольника относятся как $3:7:8$. Пусть длины сторон равны $3x$, $7x$ и $8x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности.

Периметр данного треугольника также равен сумме его сторон:
$P_{дан} = 3x + 7x + 8x = 18x$

Теперь приравняем два полученных выражения для периметра данного треугольника и найдем $x$:
$18x = 108$
$x = \frac{108}{18}$
$x = 6$

Теперь мы можем вычислить длины сторон данного треугольника:
Первая сторона: $3x = 3 \times 6 = 18$ см.
Вторая сторона: $7x = 7 \times 6 = 42$ см.
Третья сторона: $8x = 8 \times 6 = 54$ см.

Ответ: стороны данного треугольника равны 18 см, 42 см и 54 см.

58. Диагонали четырёхугольника равны 3 см и 7 см, а угол между ними — $37^\circ$. Найдите стороны и углы четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника.

58. Диагонали четырёхугольника равны 3 см и 7 см, а угол между ними — $37^\circ$. Найдите стороны и углы четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника.

Пусть дан произвольный четырёхугольник. Четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон данного, является параллелограммом (согласно теореме Вариньона). Стороны этого параллелограмма параллельны диагоналям исходного четырёхугольника и равны их половинам, а углы параллелограмма равны углам между диагоналями.

Стороны четырёхугольника

По условию, диагонали исходного четырёхугольника равны $d_1 = 3$ см и $d_2 = 7$ см. Две противоположные стороны искомого параллелограмма равны половине первой диагонали, а две другие — половине второй.
Первая пара сторон: $a = \frac{d_1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.
Вторая пара сторон: $b = \frac{d_2}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$ см.
Таким образом, искомый четырёхугольник имеет две стороны длиной 1.5 см и две стороны длиной 3.5 см.
Ответ: две стороны равны 1.5 см, две другие стороны равны 3.5 см.

Углы четырёхугольника

Углы искомого параллелограмма равны углам, которые образуются при пересечении диагоналей исходного четырёхугольника. По условию, один из этих углов равен $37°$. При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Одна пара углов равна $37°$, а смежные с ними углы равны $180° - 37° = 143°$.
Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то два его угла равны $37°$, а два других — $143°$.
Ответ: два угла равны $37°$, два других угла равны $143°$.

59. Определите вид четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон четырёхугольника, а диагонали — равны.

59. Определите вид четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон четырёхугольника, а диагонали — равны.

Пусть дан произвольный четырёхугольник $ABCD$. Обозначим середины его сторон $AB, BC, CD, DA$ как точки $K, L, M, N$ соответственно.Четырёхугольник, о котором идет речь в задаче, — это четырёхугольник $KLMN$, образованный серединами сторон четырёхугольника $ABCD$.По условию, диагонали четырёхугольника $KLMN$ равны.

Сначала определим общий вид четырёхугольника, образованного серединами сторон другого четырёхугольника. Согласно теореме Вариньона, такой четырёхугольник всегда является параллелограммом. Докажем это утверждение.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $KL$ является средней линией треугольника $\triangle ABC$. По свойству средней линии, отрезок $KL$ параллелен стороне $AC$ и его длина равна половине длины $AC$:$KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2} AC$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $CD$ и $DA$. Следовательно, $MN$ является средней линией треугольника $\triangle ADC$. По свойству средней линии:$MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2} AC$.

Из полученных соотношений следует, что $KL \parallel MN$ и $KL = MN$.Поскольку в четырёхугольнике $KLMN$ две противоположные стороны ($KL$ и $MN$) параллельны и равны, то по признаку параллелограмма, четырёхугольник $KLMN$ является параллелограммом.

Теперь воспользуемся второй частью условия задачи: диагонали этого четырёхугольника равны.Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником.Таким образом, четырёхугольник $KLMN$ — это прямоугольник.

Ответ: Прямоугольник.

60. Четырёхугольник, вершины которого — середины сторон данного четырёхугольника, является прямоугольником. Докажите, что диагонали данного четырёхугольника перпендикулярны.

60. Четырёхугольник, вершины которого — середины сторон данного четырёхугольника, является прямоугольником. Докажите, что диагонали данного четырёх-угольника перпендикулярны.

Пусть дан произвольный четырёхугольник $ABCD$. Обозначим середины его сторон как $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно: $K$ — середина $AB$, $L$ — середина $BC$, $M$ — середина $CD$, и $N$ — середина $DA$. По условию, четырёхугольник $KLMN$, образованный этими точками, является прямоугольником.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $KL$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, отрезок $KL$ параллелен диагонали $AC$ и равен её половине:$KL \parallel AC$.

Аналогично рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $KN$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$. Следовательно, $KN$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии, отрезок $KN$ параллелен диагонали $BD$:$KN \parallel BD$.

По условию задачи, четырёхугольник $KLMN$ является прямоугольником. Это означает, что его смежные стороны перпендикулярны, в частности $KL \perp KN$. Угол между прямыми $KL$ и $KN$ равен $90^\circ$.

Мы установили, что $KL \parallel AC$ и $KN \parallel BD$. Угол между двумя прямыми равен углу между любыми двумя прямыми, которые им параллельны. Следовательно, угол между диагоналями $AC$ и $BD$ равен углу между сторонами $KL$ и $KN$.

Поскольку угол между $KL$ и $KN$ равен $90^\circ$, то и угол между диагоналями $AC$ и $BD$ также равен $90^\circ$. Это означает, что диагонали данного четырёхугольника $ABCD$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Диагонали данного четырёхугольника перпендикулярны.