Страница 41 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

33. Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $COD$, если он в 4 раза меньше угла $ABD$.

33. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Найдите угол $COD$, если он в 4 раза меньше угла $ABD$.

Пусть в прямоугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$.

Согласно условию задачи, угол $COD$ в 4 раза меньше угла $ABD$. Обозначим $\angle COD = x$. Тогда $\angle ABD = 4x$.

По свойству диагоналей прямоугольника, они равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, в треугольнике $COD$ стороны $OC$ и $OD$ равны ($OC = OD$). Это означает, что треугольник $COD$ является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике $COD$ углы при основании равны: $\angle OCD = \angle ODC$.

Противоположные стороны прямоугольника параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Диагональ $BD$ является секущей. Углы $\angle ABD$ и $\angle BDC$ — накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$, поэтому они равны:
$\angle BDC = \angle ABD = 4x$.

Так как $\angle ODC$ — это тот же угол, что и $\angle BDC$, то $\angle ODC = 4x$. Соответственно, и угол $\angle OCD$ также равен $4x$.

Сумма углов в треугольнике $COD$ равна $180^\circ$. Составим и решим уравнение:
$\angle COD + \angle OCD + \angle ODC = 180^\circ$
$x + 4x + 4x = 180^\circ$
$9x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{9}$
$x = 20^\circ$

Следовательно, величина угла $COD$ составляет $20^\circ$.

Ответ: $20^\circ$

34. В окружности с центром O проведены диаметры AC и BD (рис. 49). Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником. Найдите отрезок BD, если $AD = 7 \text{ см}$, $\angle ACD = 30^\circ$.

Рис. 49

34. В окружности с центром $O$ проведены диаметры $AC$ и $BD$ (рис. 49). Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ является прямоугольником. Найдите отрезок $BD$, если $AD = 7$ см, $\angle ACD = 30^\circ$.

Рис. 49

Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ являются диаметрами окружности с центром в точке $O$.
По определению диаметра, они проходят через центр окружности и делятся им пополам. Следовательно, $AO = OC = R$ и $BO = OD = R$, где $R$ — радиус окружности.
Поскольку диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам ($AO = OC$ и $BO = OD$), то по признаку параллелограмма, $ABCD$ является параллелограммом.
Кроме того, длины диагоналей равны, так как каждая из них равна двум радиусам: $AC = AO + OC = 2R$ и $BD = BO + OD = 2R$. Таким образом, $AC = BD$.
Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником.
Следовательно, четырёхугольник $ABCD$ — прямоугольник. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник $ABCD$ является прямоугольником.

Найдите отрезок BD, если AD = 7 см, ∠ACD = 30°.

Поскольку мы доказали, что $ABCD$ — это прямоугольник, все его углы прямые. В частности, $\angle D = 90°$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. Гипотенуза в нём — $AC$, катеты — $AD$ и $DC$. По условию, катет $AD = 7$ см и угол $\angle ACD = 30°$.
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30°$, равен половине гипотенузы. В треугольнике $\triangle ADC$ катет $AD$ лежит как раз против угла $\angle ACD = 30°$.
Следовательно, $AD = \frac{1}{2} AC$.
Отсюда можем найти длину гипотенузы $AC$:
$AC = 2 \times AD = 2 \times 7 = 14$ см.
В прямоугольнике диагонали равны, то есть $BD = AC$.
Таким образом, $BD = 14$ см.

Ответ: $14$ см.

35. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Медиана $OM$ треугольника $BOC$ перпендикулярна стороне $BC$. Докажите, что $ABCD$ — прямоугольник.

35. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Медиана $OM$ треугольника $BOC$ перпендикулярна стороне $BC$. Докажите, что $ABCD$ — прямоугольник.

По условию, $ABCD$ — параллелограмм, диагонали которого ($AC$ и $BD$) пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольник $BOC$, образованный двумя полудиагоналями и стороной параллелограмма.

В треугольнике $BOC$ отрезок $OM$ является медианой к стороне $BC$. По определению медианы, точка $M$ — середина стороны $BC$.

Также по условию, медиана $OM$ перпендикулярна стороне $BC$ ($OM \perp BC$), что означает, что $OM$ является также и высотой треугольника $BOC$.

Поскольку в треугольнике $BOC$ отрезок $OM$ является одновременно и медианой, и высотой, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $BC$. Следовательно, его боковые стороны, прилежащие к вершине $O$, равны: $BO = CO$.

По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что полные длины диагоналей равны удвоенным длинам их половин:

$AC = 2 \cdot CO$

$BD = 2 \cdot BO$

Так как мы установили, что $BO = CO$, то отсюда следует, что и $2 \cdot BO = 2 \cdot CO$, то есть $AC = BD$.

Мы доказали, что диагонали параллелограмма $ABCD$ равны. Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником.

Следовательно, $ABCD$ — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

36. Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до его большей стороны на 6 см меньше, чем расстояние до меньшей стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 48 см.

36. Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до его большей стороны на 6 см меньше, чем расстояние до меньшей стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 48 см.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, где $a$ — большая сторона, а $b$ — меньшая.

Точка пересечения диагоналей является центром прямоугольника. Расстояние от этой точки до большей стороны ($a$) равно половине меньшей стороны, то есть $\frac{b}{2}$. Расстояние до меньшей стороны ($b$) равно половине большей стороны, то есть $\frac{a}{2}$.

Согласно условию, расстояние до большей стороны на 6 см меньше, чем расстояние до меньшей. Составим первое уравнение:
$\frac{b}{2} = \frac{a}{2} - 6$
Умножив обе части на 2, получим:
$b = a - 12$ или $a - b = 12$.

Периметр прямоугольника равен 48 см. Формула периметра $P = 2(a + b)$. Составим второе уравнение:
$2(a + b) = 48$
Разделив обе части на 2, получим:
$a + b = 24$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$\begin{cases} a - b = 12 \\ a + b = 24 \end{cases}$
Сложим эти два уравнения:
$(a - b) + (a + b) = 12 + 24$
$2a = 36$
$a = 18$ см.

Подставим найденное значение $a$ во второе уравнение системы, чтобы найти $b$:
$18 + b = 24$
$b = 24 - 18$
$b = 6$ см.

Проверим найденные значения. Периметр: $2 \cdot (18 + 6) = 2 \cdot 24 = 48$ см. Расстояние до большей стороны: $\frac{6}{2} = 3$ см. Расстояние до меньшей стороны: $\frac{18}{2} = 9$ см. Разница расстояний: $9 - 3 = 6$ см. Все условия задачи выполнены.

Ответ: стороны прямоугольника равны 18 см и 6 см.

37. Сумма расстояний от точки пересечения диагоналей прямоугольника до его двух соседних сторон равна 24 см. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как $7:9$.

37. Сумма расстояний от точки пересечения диагоналей прямоугольника до его двух соседних сторон равна 24 см. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как $7 : 9$.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Точка пересечения диагоналей является центром прямоугольника. Расстояние от этой точки до любой из сторон равно половине длины перпендикулярной ей стороны.

Следовательно, расстояние от центра до одной стороны равно $\frac{a}{2}$, а до соседней стороны — $\frac{b}{2}$.

Согласно условию задачи, сумма этих расстояний составляет 24 см:

$\frac{a}{2} + \frac{b}{2} = 24$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму сторон:

$a + b = 48$

Также известно, что стороны прямоугольника относятся как 7:9. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины сторон можно выразить как $a = 7x$ и $b = 9x$.

Подставим эти выражения в уравнение для суммы сторон:

$7x + 9x = 48$

$16x = 48$

Найдем значение коэффициента $x$:

$x = \frac{48}{16} = 3$

Теперь вычислим длины сторон прямоугольника:

Первая сторона: $a = 7x = 7 \cdot 3 = 21$ см.

Вторая сторона: $b = 9x = 9 \cdot 3 = 27$ см.

Ответ: 21 см и 27 см.

38. Разность гипотенузы прямоугольного треугольника и проведённой к ней медианы равна 7 см. Найдите гипотенузу.

38. Разность гипотенузы прямоугольного треугольника и проведённой к ней медианы равна 7 см. Найдите гипотенузу.

Пусть $c$ — длина гипотенузы прямоугольного треугольника, а $m_c$ — длина медианы, проведённой к гипотенузе.

Согласно условию задачи, разность гипотенузы и проведённой к ней медианы равна 7 см. Это можно записать в виде уравнения:

$c - m_c = 7$

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это свойство можно записать как:

$m_c = \frac{c}{2}$

Теперь подставим второе уравнение в первое:

$c - \frac{c}{2} = 7$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $c$:

$\frac{2c - c}{2} = 7$

$\frac{c}{2} = 7$

$c = 7 \cdot 2$

$c = 14$

Таким образом, длина гипотенузы составляет 14 см.

Ответ: 14 см.

39. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle A = 75^\circ$, $\angle B = 15^\circ$.

Медиана, проведённая к стороне $AB$, равна 2 см. Найдите сторону $AB$.

39. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle A = 75^\circ$, $\angle B = 15^\circ$. Медиана, проведённая к стороне $AB$, равна 2 см. Найдите сторону $AB$.

Для начала найдем третий угол треугольника $ABC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$

Подставим известные значения углов:

$\angle C = 180^\circ - (75^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Поскольку угол $\angle C$ равен $90^\circ$, треугольник $ABC$ является прямоугольным, а сторона $AB$ — его гипотенузой.

В условии сказано, что медиана, проведённая к стороне $AB$, равна 2 см. Обозначим эту медиану как $CM$, где $M$ — середина стороны $AB$.

В прямоугольном треугольнике существует свойство, согласно которому медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Следовательно, $CM = \frac{1}{2}AB$.

Мы знаем, что $CM = 2$ см, поэтому можем найти длину стороны $AB$:

$2 = \frac{1}{2}AB$

$AB = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Ответ: 4 см.

40. В окружности проведены перпендикулярные хорды $MN$ и $MK$. Расстояние от центра окружности до точки $M$ равно 10 см. Найдите длину отрезка, соединяющего середины хорд.

40. В окружности проведены перпендикулярные хорды $MN$ и $MK$. Расстояние от центра окружности до точки $M$ равно 10 см. Найдите длину отрезка, соединяющего середины хорд.

Пусть O — центр окружности. Обозначим середину хорды MN как точку A, а середину хорды MK — как точку B. Необходимо найти длину отрезка AB.

Рассмотрим четырехугольник OAMB.

1. Согласно свойству хорды, отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды, перпендикулярен этой хорде. Так как A — середина MN, то $OA \perp MN$. Следовательно, угол $\angle OAM = 90^\circ$. Аналогично, так как B — середина MK, то $OB \perp MK$. Следовательно, угол $\angle OBM = 90^\circ$.

2. По условию, хорды MN и MK перпендикулярны, что означает $\angle NMK = 90^\circ$. Поскольку точка A лежит на MN, а точка B — на MK, то угол, образованный отрезками AM и MB, также прямой: $\angle AMB = 90^\circ$.

3. В четырехугольнике OAMB три угла являются прямыми: $\angle OAM$, $\angle AMB$ и $\angle OBM$. Сумма углов в любом четырехугольнике равна $360^\circ$. Найдем четвертый угол: $\angle AOB = 360^\circ - (\angle OAM + \angle AMB + \angle OBM) = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 90^\circ) = 90^\circ$.

4. Поскольку все четыре угла в четырехугольнике OAMB равны $90^\circ$, этот четырехугольник является прямоугольником.

5. Важным свойством прямоугольника является равенство его диагоналей. Диагоналями прямоугольника OAMB служат отрезки OM и AB. Следовательно, их длины равны: $AB = OM$.

6. Из условия задачи известно, что расстояние от центра окружности O до точки M равно 10 см, то есть $OM = 10$ см.

Таким образом, длина искомого отрезка AB, соединяющего середины хорд, равна длине отрезка OM, то есть 10 см.

Ответ: 10 см.