Номер 36, страница 41 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

36. Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до его большей стороны на 6 см меньше, чем расстояние до меньшей стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 48 см.

36. Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до его большей стороны на 6 см меньше, чем расстояние до меньшей стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 48 см.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, где $a$ — большая сторона, а $b$ — меньшая.

Точка пересечения диагоналей является центром прямоугольника. Расстояние от этой точки до большей стороны ($a$) равно половине меньшей стороны, то есть $\frac{b}{2}$. Расстояние до меньшей стороны ($b$) равно половине большей стороны, то есть $\frac{a}{2}$.

Согласно условию, расстояние до большей стороны на 6 см меньше, чем расстояние до меньшей. Составим первое уравнение:
$\frac{b}{2} = \frac{a}{2} - 6$
Умножив обе части на 2, получим:
$b = a - 12$ или $a - b = 12$.

Периметр прямоугольника равен 48 см. Формула периметра $P = 2(a + b)$. Составим второе уравнение:
$2(a + b) = 48$
Разделив обе части на 2, получим:
$a + b = 24$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$\begin{cases} a - b = 12 \\ a + b = 24 \end{cases}$
Сложим эти два уравнения:
$(a - b) + (a + b) = 12 + 24$
$2a = 36$
$a = 18$ см.

Подставим найденное значение $a$ во второе уравнение системы, чтобы найти $b$:
$18 + b = 24$
$b = 24 - 18$
$b = 6$ см.

Проверим найденные значения. Периметр: $2 \cdot (18 + 6) = 2 \cdot 24 = 48$ см. Расстояние до большей стороны: $\frac{6}{2} = 3$ см. Расстояние до меньшей стороны: $\frac{18}{2} = 9$ см. Разница расстояний: $9 - 3 = 6$ см. Все условия задачи выполнены.

Ответ: стороны прямоугольника равны 18 см и 6 см.