Номер 42, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

42. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, разность которых равна $30^\circ$.

42. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, разность которых равна $30^\circ$.

Пусть дан ромб. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом ($90^\circ$) и являются биссектрисами его углов. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный одной из сторон ромба (которая будет гипотенузой) и половинами его диагоналей (которые будут катетами).

Углы, которые сторона ромба образует с диагоналями, являются острыми углами этого прямоугольного треугольника. Сумма острых углов любого прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Обозначим эти углы как $\alpha$ и $\beta$. Тогда мы можем составить первое уравнение:$\alpha + \beta = 90^\circ$.

Согласно условию задачи, разность этих углов составляет $30^\circ$. Это дает нам второе уравнение. Предположим, что $\alpha$ — это больший угол, тогда:$\alpha - \beta = 30^\circ$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:$ \begin{cases} \alpha + \beta = 90^\circ \\ \alpha - \beta = 30^\circ \end{cases} $

Для решения системы сложим оба уравнения:$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 90^\circ + 30^\circ$
$2\alpha = 120^\circ$
$\alpha = 60^\circ$

Теперь, зная $\alpha$, найдем $\beta$, подставив его значение в первое уравнение:$60^\circ + \beta = 90^\circ$
$\beta = 90^\circ - 60^\circ$
$\beta = 30^\circ$

Таким образом, сторона ромба образует с его диагоналями углы в $60^\circ$ и $30^\circ$.

Поскольку диагонали в ромбе являются биссектрисами его внутренних углов, то каждый угол ромба вдвое больше соответствующего угла между стороной и диагональю.
Один угол ромба равен $2 \cdot \alpha = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.
Смежный с ним угол равен $2 \cdot \beta = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

В ромбе противолежащие углы равны. Следовательно, углы ромба равны $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$ и $120^\circ$.
Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.