Номер 45, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

45. Угол между высотой и диагональю ромба, проведёнными из вершины острого угла, равен $54^\circ$. Найдите углы ромба.

45. Угол между высотой и диагональю ромба, проведёнными из вершины острого угла, равен $54^\circ$. Найдите углы ромба.

Пусть дан ромб $ABCD$. Предположим, что $\angle A$ является острым углом. Из вершины $A$ проведем высоту $AH$ к стороне $CD$ и диагональ $AC$.

Согласно условию задачи, угол между высотой $AH$ и диагональю $AC$ составляет $54^\circ$. Это означает, что $\angle HAC = 54^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AHC$. Так как $AH$ является высотой, опущенной на сторону $CD$, то $\angle AHC = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $AHC$ — прямоугольный.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Для треугольника $AHC$ это означает:
$\angle HAC + \angle ACH = 90^\circ$

Мы можем найти угол $\angle ACH$:
$\angle ACH = 90^\circ - \angle HAC = 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ$.

Угол $\angle ACH$ является частью угла ромба $\angle BCD$. Одно из ключевых свойств ромба заключается в том, что его диагонали являются биссектрисами углов. Таким образом, диагональ $AC$ делит угол $\angle BCD$ на два равных угла: $\angle BCA = \angle ACD$.

Поскольку $\angle ACH$ это то же самое, что и $\angle ACD$, то полный угол $\angle C$ ромба равен:
$\angle C = \angle BCD = 2 \cdot \angle ACH = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$.

Противоположные углы ромба равны, поэтому острые углы ромба $\angle A$ и $\angle C$ равны $72^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180^\circ$. Найдем величину тупого угла $\angle D$ (или $\angle B$):
$\angle D = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

Таким образом, тупые углы ромба $\angle B$ и $\angle D$ равны $108^\circ$.

Ответ: углы ромба равны $72^\circ$ и $108^\circ$.