Номер 46, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

46. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найдите меньшую диагональ ромба, если его сторона равна 18 см.

46. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найдите меньшую диагональ ромба, если его сторона равна 18 см.

Пусть дан ромб ABCD со стороной $a = 18$ см. Пусть B — вершина тупого угла. Проведем из вершины B высоту BH на сторону AD.

По условию задачи, высота BH делит сторону AD пополам, то есть точка H является серединой отрезка AD. Следовательно, длина отрезка AH равна половине длины стороны ромба:

$AH = \frac{AD}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Рассмотрим треугольник ΔABH. Он является прямоугольным, так как BH — высота ($ \angle AHB = 90^\circ $). В этом треугольнике гипотенуза AB равна стороне ромба (18 см), а катет AH равен 9 см.

Найдем острый угол ромба $ \angle A $, используя определение косинуса в прямоугольном треугольнике:

$ \cos(\angle A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} $

Из этого соотношения следует, что острый угол ромба $ \angle A = 60^\circ $. Противоположный ему угол $ \angle C $ также равен $ 60^\circ $.

Сумма соседних углов ромба равна $ 180^\circ $, поэтому тупой угол $ \angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $. Это соответствует условию, что высота проведена из вершины тупого угла.

Нам нужно найти меньшую диагональ ромба. Меньшая диагональ ромба лежит напротив его острого угла. Рассмотрим треугольник ΔABD, образованный двумя сторонами ромба AB, AD и диагональю BD. В этом треугольнике $ AB = AD = 18 $ см, а угол между ними $ \angle A = 60^\circ $.

Поскольку треугольник ΔABD является равнобедренным с углом $ 60^\circ $ при вершине, он также является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны:

$ BD = AB = AD = 18 $ см.

Диагональ BD лежит напротив острого угла в 60°, а другая диагональ AC лежит напротив тупого угла в 120°, поэтому BD является меньшей диагональю.

Таким образом, меньшая диагональ ромба равна его стороне.

Ответ: 18 см.