Номер 40, страница 41 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

40. В окружности проведены перпендикулярные хорды $MN$ и $MK$. Расстояние от центра окружности до точки $M$ равно 10 см. Найдите длину отрезка, соединяющего середины хорд.

40. В окружности проведены перпендикулярные хорды $MN$ и $MK$. Расстояние от центра окружности до точки $M$ равно 10 см. Найдите длину отрезка, соединяющего середины хорд.

Пусть O — центр окружности. Обозначим середину хорды MN как точку A, а середину хорды MK — как точку B. Необходимо найти длину отрезка AB.

Рассмотрим четырехугольник OAMB.

1. Согласно свойству хорды, отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды, перпендикулярен этой хорде. Так как A — середина MN, то $OA \perp MN$. Следовательно, угол $\angle OAM = 90^\circ$. Аналогично, так как B — середина MK, то $OB \perp MK$. Следовательно, угол $\angle OBM = 90^\circ$.

2. По условию, хорды MN и MK перпендикулярны, что означает $\angle NMK = 90^\circ$. Поскольку точка A лежит на MN, а точка B — на MK, то угол, образованный отрезками AM и MB, также прямой: $\angle AMB = 90^\circ$.

3. В четырехугольнике OAMB три угла являются прямыми: $\angle OAM$, $\angle AMB$ и $\angle OBM$. Сумма углов в любом четырехугольнике равна $360^\circ$. Найдем четвертый угол: $\angle AOB = 360^\circ - (\angle OAM + \angle AMB + \angle OBM) = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 90^\circ) = 90^\circ$.

4. Поскольку все четыре угла в четырехугольнике OAMB равны $90^\circ$, этот четырехугольник является прямоугольником.

5. Важным свойством прямоугольника является равенство его диагоналей. Диагоналями прямоугольника OAMB служат отрезки OM и AB. Следовательно, их длины равны: $AB = OM$.

6. Из условия задачи известно, что расстояние от центра окружности O до точки M равно 10 см, то есть $OM = 10$ см.

Таким образом, длина искомого отрезка AB, соединяющего середины хорд, равна длине отрезка OM, то есть 10 см.

Ответ: 10 см.