Номер 34, страница 41 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

34. В окружности с центром O проведены диаметры AC и BD (рис. 49). Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником. Найдите отрезок BD, если $AD = 7 \text{ см}$, $\angle ACD = 30^\circ$.

Рис. 49

34. В окружности с центром $O$ проведены диаметры $AC$ и $BD$ (рис. 49). Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ является прямоугольником. Найдите отрезок $BD$, если $AD = 7$ см, $\angle ACD = 30^\circ$.

Рис. 49

Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ являются диаметрами окружности с центром в точке $O$.
По определению диаметра, они проходят через центр окружности и делятся им пополам. Следовательно, $AO = OC = R$ и $BO = OD = R$, где $R$ — радиус окружности.
Поскольку диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам ($AO = OC$ и $BO = OD$), то по признаку параллелограмма, $ABCD$ является параллелограммом.
Кроме того, длины диагоналей равны, так как каждая из них равна двум радиусам: $AC = AO + OC = 2R$ и $BD = BO + OD = 2R$. Таким образом, $AC = BD$.
Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником.
Следовательно, четырёхугольник $ABCD$ — прямоугольник. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник $ABCD$ является прямоугольником.

Найдите отрезок BD, если AD = 7 см, ∠ACD = 30°.

Поскольку мы доказали, что $ABCD$ — это прямоугольник, все его углы прямые. В частности, $\angle D = 90°$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. Гипотенуза в нём — $AC$, катеты — $AD$ и $DC$. По условию, катет $AD = 7$ см и угол $\angle ACD = 30°$.
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30°$, равен половине гипотенузы. В треугольнике $\triangle ADC$ катет $AD$ лежит как раз против угла $\angle ACD = 30°$.
Следовательно, $AD = \frac{1}{2} AC$.
Отсюда можем найти длину гипотенузы $AC$:
$AC = 2 \times AD = 2 \times 7 = 14$ см.
В прямоугольнике диагонали равны, то есть $BD = AC$.
Таким образом, $BD = 14$ см.

Ответ: $14$ см.