Номер 28, страница 40 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

28. В четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ параллельны. Какое ещё условие должно выполняться для сторон $AB$ и $CD$, чтобы четырёхугольник $ABCD$ был параллелограммом?

28. В четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ параллельны. Какое ещё условие должно выполняться для сторон $AB$ и $CD$, чтобы четырёхугольник $ABCD$ был параллелограммом?

Для того чтобы четырехугольник являлся параллелограммом, его противоположные стороны должны быть попарно параллельны. По условию задачи, в четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ уже параллельны ($AB \parallel CD$).

Чтобы четырехугольник $ABCD$ стал параллелограммом, необходимо, чтобы и вторая пара противоположных сторон, $BC$ и $AD$, также была параллельна.

Рассмотрим признак параллелограмма, который связывает одну пару противоположных сторон:
Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

В задаче уже дано, что стороны $AB$ и $CD$ параллельны. Согласно указанному признаку, для того чтобы четырехугольник $ABCD$ был параллелограммом, необходимо добавить условие равенства длин этих же сторон.

Таким образом, дополнительное условие, которое должно выполняться для сторон $AB$ и $CD$, заключается в том, что их длины должны быть равны: $AB = CD$.

Доказательство:
Пусть в четырехугольнике $ABCD$ известно, что $AB \parallel CD$ и $AB = CD$. Проведем диагональ $AC$.
Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. В них:
1. $AB = CD$ (по условию).
2. $AC$ — общая сторона.
3. $\angle BAC = \angle DCA$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$).
Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
Из равенства треугольников следует, что равны и другие их соответственные элементы, в частности, углы: $\angle BCA = \angle DAC$.
Эти углы являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Так как они равны, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны.
В итоге мы получили, что в четырехугольнике $ABCD$ обе пары противоположных сторон параллельны ($AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$), значит, $ABCD$ — параллелограмм по определению.

Ответ: стороны $AB$ и $CD$ должны быть равны по длине ($AB = CD$).