Номер 21, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ делит сторону $AD$ в отношении 2 : 3, считая от вершины угла $A$. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 42 см.

21. Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ делит сто-рону $AD$ в отношении $2:3$, считая от вершины угла $A$. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 42 см.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Проведем биссектрису угла $B$, которая пересекает сторону $AD$ в точке $E$.

Поскольку $ABCD$ – параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Прямая $BE$ является секущей для параллельных прямых $BC$ и $AD$. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle CBE = \angle AEB$.

По условию, $BE$ – биссектриса угла $B$, поэтому она делит этот угол пополам: $\angle ABE = \angle CBE$.

Из двух полученных равенств следует, что $\angle ABE = \angle AEB$.

Рассмотрим треугольник $ABE$. Так как два его угла равны ($\angle ABE = \angle AEB$), то треугольник $ABE$ является равнобедренным с основанием $BE$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны, следовательно, $AB = AE$.

По условию, точка $E$ делит сторону $AD$ в отношении $2 : 3$, считая от вершины $A$. Это означает, что $AE : ED = 2 : 3$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $AE = 2x$ и $ED = 3x$.
Сторона $AD$ состоит из двух отрезков: $AD = AE + ED = 2x + 3x = 5x$.
Так как $AB = AE$, то $AB = 2x$.

Таким образом, мы выразили две смежные стороны параллелограмма через $x$: $AB = 2x$ и $AD = 5x$.

Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле $P = 2(AB + AD)$. По условию, периметр равен 42 см. Составим и решим уравнение:

$2(2x + 5x) = 42$

$2 \cdot 7x = 42$

$14x = 42$

$x = \frac{42}{14}$

$x = 3$

Теперь найдем длины сторон параллелограмма:

Сторона $AB = 2x = 2 \cdot 3 = 6$ см.
Сторона $AD = 5x = 5 \cdot 3 = 15$ см.

Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому стороны равны 6 см, 15 см, 6 см и 15 см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 6 см и 15 см.