Номер 18, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. На рисунке 44 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 44

a

$110^\circ$, $20^\circ$, $80^\circ$

б

$70^\circ$, $40^\circ$

5, 6

B

$50^\circ$, $110^\circ$

12, 11

18. На рисунке 44 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 44

a

A B C D

$20^\circ$ $110^\circ$ $80^\circ$

б

A B C D

$70^\circ$ $40^\circ$ $5$ $6$

в

A B C D

$12$ $50^\circ$ $110^\circ$ $11$

Для определения неверных обозначений на рисунках воспользуемся основными свойствами параллелограмма и треугольника:

• Противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$.
• При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.
• Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.
• В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона.

Проанализируем каждый рисунок.

а)

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, изображенный на рисунке а. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Согласно данным на рисунке, $\angle CAD = 20^\circ$, $\angle BDC = 80^\circ$ и угол между диагоналями $\angle AOB = 110^\circ$.

По свойству параллелограмма, стороны $AB$ и $DC$ параллельны ($AB \parallel DC$). Диагональ $BD$ является секущей. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle ABD$ и $\angle BDC$ равны.

Таким образом, $\angle ABD = \angle BDC = 80^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $AOB$. Сумма углов в треугольнике должна быть равна $180^\circ$. В этом треугольнике нам известны два угла: $\angle OBA = \angle ABD = 80^\circ$ и $\angle AOB = 110^\circ$.

Найдем сумму этих двух углов: $\angle OBA + \angle AOB = 80^\circ + 110^\circ = 190^\circ$.

Сумма только двух углов треугольника $AOB$ уже больше $180^\circ$, что невозможно. Значит, данные на рисунке противоречат свойствам геометрических фигур.

Ответ: На рисунке а величины углов обозначены неверно.

б)

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ на рисунке б. Дано: $\angle A = 70^\circ$, $\angle ADB = 40^\circ$, $AD = 5$ см, $DC = 6$ см.

По свойству параллелограмма, противолежащие стороны равны, значит, $AB = DC = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Сумма его углов равна $180^\circ$. Найдем третий угол $\angle ABD$:

$\angle ABD = 180^\circ - (\angle A + \angle ADB) = 180^\circ - (70^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Теперь сравним стороны и противолежащие им углы в треугольнике $ABD$. Стороны: $AB = 6$ см и $AD = 5$ см. Противолежащие им углы: $\angle ADB = 40^\circ$ (напротив стороны $AB$) и $\angle ABD = 70^\circ$ (напротив стороны $AD$).

Поскольку $AB > AD$ ($6 > 5$), то и угол напротив стороны $AB$ должен быть больше угла напротив стороны $AD$, то есть должно выполняться неравенство $\angle ADB > \angle ABD$.

Подставив числовые значения, получаем: $40^\circ > 70^\circ$. Это неравенство неверно.

Таким образом, данные на рисунке противоречат свойству соотношения сторон и углов в треугольнике.

Ответ: На рисунке б величины углов и длин отрезков обозначены неверно.

в)

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ на рисунке в. Дано: $\angle B = 110^\circ$, $\angle DAC = 50^\circ$, $AD = 12$ см, $DC = 11$ см.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle D = \angle B = 110^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. Сумма его углов равна $180^\circ$. Нам известны два угла: $\angle D = 110^\circ$ и $\angle DAC = 50^\circ$. Найдем третий угол $\angle ACD$:

$\angle ACD = 180^\circ - (\angle D + \angle DAC) = 180^\circ - (110^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$.

Теперь сравним стороны и противолежащие им углы в треугольнике $ADC$. Стороны: $AD = 12$ см и $DC = 11$ см. Противолежащие им углы: $\angle ACD = 20^\circ$ (напротив стороны $AD$) и $\angle DAC = 50^\circ$ (напротив стороны $DC$).

Поскольку $AD > DC$ ($12 > 11$), то и угол напротив стороны $AD$ должен быть больше угла напротив стороны $DC$, то есть должно выполняться неравенство $\angle ACD > \angle DAC$.

Подставив числовые значения, получаем: $20^\circ > 50^\circ$. Это неравенство неверно.

Таким образом, данные на рисунке противоречат свойству соотношения сторон и углов в треугольнике.

Ответ: На рисунке в величины углов и длин отрезков обозначены неверно.