Номер 19, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

19. Биссектрисы углов $C$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите отрезок $CO$, если $CD = 10 \text{ см}$ и $\angle DCO = 60^\circ$.

19. Биссектрисы углов $C$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите отрезок $CO$, если $CD = 10$ см и $\angle DCO = 60^\circ$.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По условию, $CO$ является биссектрисой угла $C$, а $DO$ — биссектрисой угла $D$. Они пересекаются в точке $O$, образуя треугольник $COD$.

1. Поскольку $CO$ — биссектриса угла $BCD$, она делит этот угол на два равных угла. Нам известен один из них: $\angle DCO = 60^{\circ}$. Следовательно, весь угол $BCD$ параллелограмма равен:
$\angle BCD = 2 \cdot \angle DCO = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

2. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$. Углы $BCD$ и $ADC$ прилежат к стороне $CD$, поэтому их сумма равна $180^{\circ}$:
$\angle ADC + \angle BCD = 180^{\circ}$
$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle BCD = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.

3. Так как $DO$ — биссектриса угла $ADC$, она делит этот угол пополам. Найдем угол $\angle CDO$ в треугольнике $COD$:
$\angle CDO = \frac{1}{2} \angle ADC = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

4. Теперь мы знаем два угла в треугольнике $COD$: $\angle DCO = 60^{\circ}$ и $\angle CDO = 30^{\circ}$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Найдем третий угол, $\angle COD$:
$\angle COD = 180^{\circ} - (\angle DCO + \angle CDO)$
$\angle COD = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

5. Таким образом, треугольник $COD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. Сторона $CD$ является гипотенузой этого треугольника, и по условию $CD = 10$ см. Нам нужно найти катет $CO$.
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. В нашем треугольнике катет $CO$ лежит напротив угла $\angle CDO = 30^{\circ}$.
Следовательно, длина отрезка $CO$ равна:
$CO = \frac{1}{2} \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Ответ: 5 см.