Страница 39 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. На рисунке 44 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 44

a

$110^\circ$, $20^\circ$, $80^\circ$

б

$70^\circ$, $40^\circ$

5, 6

B

$50^\circ$, $110^\circ$

12, 11

18. На рисунке 44 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 44

a

A B C D

$20^\circ$ $110^\circ$ $80^\circ$

б

A B C D

$70^\circ$ $40^\circ$ $5$ $6$

в

A B C D

$12$ $50^\circ$ $110^\circ$ $11$

Для определения неверных обозначений на рисунках воспользуемся основными свойствами параллелограмма и треугольника:

• Противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$.
• При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.
• Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.
• В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона.

Проанализируем каждый рисунок.

а)

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, изображенный на рисунке а. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Согласно данным на рисунке, $\angle CAD = 20^\circ$, $\angle BDC = 80^\circ$ и угол между диагоналями $\angle AOB = 110^\circ$.

По свойству параллелограмма, стороны $AB$ и $DC$ параллельны ($AB \parallel DC$). Диагональ $BD$ является секущей. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle ABD$ и $\angle BDC$ равны.

Таким образом, $\angle ABD = \angle BDC = 80^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $AOB$. Сумма углов в треугольнике должна быть равна $180^\circ$. В этом треугольнике нам известны два угла: $\angle OBA = \angle ABD = 80^\circ$ и $\angle AOB = 110^\circ$.

Найдем сумму этих двух углов: $\angle OBA + \angle AOB = 80^\circ + 110^\circ = 190^\circ$.

Сумма только двух углов треугольника $AOB$ уже больше $180^\circ$, что невозможно. Значит, данные на рисунке противоречат свойствам геометрических фигур.

Ответ: На рисунке а величины углов обозначены неверно.

б)

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ на рисунке б. Дано: $\angle A = 70^\circ$, $\angle ADB = 40^\circ$, $AD = 5$ см, $DC = 6$ см.

По свойству параллелограмма, противолежащие стороны равны, значит, $AB = DC = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Сумма его углов равна $180^\circ$. Найдем третий угол $\angle ABD$:

$\angle ABD = 180^\circ - (\angle A + \angle ADB) = 180^\circ - (70^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Теперь сравним стороны и противолежащие им углы в треугольнике $ABD$. Стороны: $AB = 6$ см и $AD = 5$ см. Противолежащие им углы: $\angle ADB = 40^\circ$ (напротив стороны $AB$) и $\angle ABD = 70^\circ$ (напротив стороны $AD$).

Поскольку $AB > AD$ ($6 > 5$), то и угол напротив стороны $AB$ должен быть больше угла напротив стороны $AD$, то есть должно выполняться неравенство $\angle ADB > \angle ABD$.

Подставив числовые значения, получаем: $40^\circ > 70^\circ$. Это неравенство неверно.

Таким образом, данные на рисунке противоречат свойству соотношения сторон и углов в треугольнике.

Ответ: На рисунке б величины углов и длин отрезков обозначены неверно.

в)

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ на рисунке в. Дано: $\angle B = 110^\circ$, $\angle DAC = 50^\circ$, $AD = 12$ см, $DC = 11$ см.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle D = \angle B = 110^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. Сумма его углов равна $180^\circ$. Нам известны два угла: $\angle D = 110^\circ$ и $\angle DAC = 50^\circ$. Найдем третий угол $\angle ACD$:

$\angle ACD = 180^\circ - (\angle D + \angle DAC) = 180^\circ - (110^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$.

Теперь сравним стороны и противолежащие им углы в треугольнике $ADC$. Стороны: $AD = 12$ см и $DC = 11$ см. Противолежащие им углы: $\angle ACD = 20^\circ$ (напротив стороны $AD$) и $\angle DAC = 50^\circ$ (напротив стороны $DC$).

Поскольку $AD > DC$ ($12 > 11$), то и угол напротив стороны $AD$ должен быть больше угла напротив стороны $DC$, то есть должно выполняться неравенство $\angle ACD > \angle DAC$.

Подставив числовые значения, получаем: $20^\circ > 50^\circ$. Это неравенство неверно.

Таким образом, данные на рисунке противоречат свойству соотношения сторон и углов в треугольнике.

Ответ: На рисунке в величины углов и длин отрезков обозначены неверно.

19. Биссектрисы углов $C$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите отрезок $CO$, если $CD = 10 \text{ см}$ и $\angle DCO = 60^\circ$.

19. Биссектрисы углов $C$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите отрезок $CO$, если $CD = 10$ см и $\angle DCO = 60^\circ$.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По условию, $CO$ является биссектрисой угла $C$, а $DO$ — биссектрисой угла $D$. Они пересекаются в точке $O$, образуя треугольник $COD$.

1. Поскольку $CO$ — биссектриса угла $BCD$, она делит этот угол на два равных угла. Нам известен один из них: $\angle DCO = 60^{\circ}$. Следовательно, весь угол $BCD$ параллелограмма равен:
$\angle BCD = 2 \cdot \angle DCO = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

2. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$. Углы $BCD$ и $ADC$ прилежат к стороне $CD$, поэтому их сумма равна $180^{\circ}$:
$\angle ADC + \angle BCD = 180^{\circ}$
$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle BCD = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.

3. Так как $DO$ — биссектриса угла $ADC$, она делит этот угол пополам. Найдем угол $\angle CDO$ в треугольнике $COD$:
$\angle CDO = \frac{1}{2} \angle ADC = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

4. Теперь мы знаем два угла в треугольнике $COD$: $\angle DCO = 60^{\circ}$ и $\angle CDO = 30^{\circ}$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Найдем третий угол, $\angle COD$:
$\angle COD = 180^{\circ} - (\angle DCO + \angle CDO)$
$\angle COD = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

5. Таким образом, треугольник $COD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. Сторона $CD$ является гипотенузой этого треугольника, и по условию $CD = 10$ см. Нам нужно найти катет $CO$.
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. В нашем треугольнике катет $CO$ лежит напротив угла $\angle CDO = 30^{\circ}$.
Следовательно, длина отрезка $CO$ равна:
$CO = \frac{1}{2} \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Ответ: 5 см.

20. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K, BK = 4 см и KC = 3 см. Найдите стороны параллелограмма.

20. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, $BK = 4$ см и $KC = 3$ см. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть $ABCD$ — заданный параллелограмм, а $AK$ — биссектриса угла $A$, где точка $K$ лежит на стороне $BC$. Из условия задачи нам известно, что $BK = 4$ см и $KC = 3$ см.

1. Найдём длину стороны $BC$ параллелограмма. Она равна сумме длин отрезков $BK$ и $KC$:
$BC = BK + KC = 4 \text{ см} + 3 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

2. В параллелограмме противоположные стороны параллельны. Следовательно, $AD \parallel BC$.

3. Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BC$ и секущую $AK$. Углы $\angle DAK$ и $\angle BKA$ являются внутренними накрест лежащими, а значит, они равны: $\angle DAK = \angle BKA$.

4. По определению, биссектриса $AK$ делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAK = \angle DAK$.

5. Из равенств, полученных в пунктах 3 и 4, следует: $\angle BAK = \angle DAK$ и $\angle DAK = \angle BKA$, значит, $\angle BAK = \angle BKA$.

6. Рассмотрим треугольник $ABK$. Поскольку два его угла равны ($\angle BAK = \angle BKA$), этот треугольник является равнобедренным с основанием $AK$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, то есть $AB = BK$.

7. Так как по условию $BK = 4$ см, то и сторона $AB = 4$ см.

8. В параллелограмме противоположные стороны равны. Таким образом:
$AB = CD = 4$ см.
$BC = AD = 7$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 4 см, 7 см, 4 см, 7 см.

21. Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ делит сторону $AD$ в отношении 2 : 3, считая от вершины угла $A$. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 42 см.

21. Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ делит сто-рону $AD$ в отношении $2:3$, считая от вершины угла $A$. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 42 см.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Проведем биссектрису угла $B$, которая пересекает сторону $AD$ в точке $E$.

Поскольку $ABCD$ – параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Прямая $BE$ является секущей для параллельных прямых $BC$ и $AD$. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle CBE = \angle AEB$.

По условию, $BE$ – биссектриса угла $B$, поэтому она делит этот угол пополам: $\angle ABE = \angle CBE$.

Из двух полученных равенств следует, что $\angle ABE = \angle AEB$.

Рассмотрим треугольник $ABE$. Так как два его угла равны ($\angle ABE = \angle AEB$), то треугольник $ABE$ является равнобедренным с основанием $BE$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны, следовательно, $AB = AE$.

По условию, точка $E$ делит сторону $AD$ в отношении $2 : 3$, считая от вершины $A$. Это означает, что $AE : ED = 2 : 3$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $AE = 2x$ и $ED = 3x$.
Сторона $AD$ состоит из двух отрезков: $AD = AE + ED = 2x + 3x = 5x$.
Так как $AB = AE$, то $AB = 2x$.

Таким образом, мы выразили две смежные стороны параллелограмма через $x$: $AB = 2x$ и $AD = 5x$.

Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле $P = 2(AB + AD)$. По условию, периметр равен 42 см. Составим и решим уравнение:

$2(2x + 5x) = 42$

$2 \cdot 7x = 42$

$14x = 42$

$x = \frac{42}{14}$

$x = 3$

Теперь найдем длины сторон параллелограмма:

Сторона $AB = 2x = 2 \cdot 3 = 6$ см.
Сторона $AD = 5x = 5 \cdot 3 = 15$ см.

Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому стороны равны 6 см, 15 см, 6 см и 15 см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 6 см и 15 см.

22. В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ равен $120^\circ$. Высота $AK$ делит сторону $CD$ в отношении $3:5$, считая от вершины тупого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 108 см.

22. В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ равен $120^\circ$. Высота $AK$ делит сторону $CD$ в отношении $3 : 5$, считая от вершины тупого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен $108$ см.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. По условию, $\angle A = 120^\circ$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$, поэтому $\angle D = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Противоположные углы параллелограмма равны, следовательно, $\angle C = \angle A = 120^\circ$ и $\angle B = \angle D = 60^\circ$.

Проведена высота $AK$ из вершины $A$ к стороне $CD$. Поскольку угол при вершине $D$ острый ($\angle D = 60^\circ$), основание высоты, точка $K$, будет лежать на отрезке $CD$.

Согласно условию, высота $AK$ делит сторону $CD$ в отношении $3:5$, считая от вершины тупого угла. Вершиной тупого угла на стороне $CD$ является вершина $C$, так как $\angle C = 120^\circ$. Таким образом, отрезки, на которые делится сторона $CD$, находятся в отношении $CK : KD = 3 : 5$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $CK = 3x$ см, а $KD = 5x$ см. Длина всей стороны $CD$ будет равна сумме длин этих отрезков:$CD = CK + KD = 3x + 5x = 8x$ см.Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, $AB = CD = 8x$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADK$ (поскольку $AK$ — высота, $\angle AKD = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известен катет $KD = 5x$ и прилежащий к нему угол $\angle D = 60^\circ$. Мы можем найти гипотенузу $AD$, которая является второй стороной параллелограмма.Используя определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике:$\cos(\angle D) = \frac{KD}{AD}$Отсюда выразим $AD$:$AD = \frac{KD}{\cos(\angle D)} = \frac{5x}{\cos(60^\circ)}$Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:$AD = \frac{5x}{1/2} = 10x$ см.Следовательно, $BC = AD = 10x$ см.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — смежные стороны. В нашем случае $a = CD = 8x$ и $b = AD = 10x$. Периметр по условию равен 108 см. Составим и решим уравнение:$P = 2(8x + 10x) = 108$$2(18x) = 108$$36x = 108$$x = \frac{108}{36}$$x = 3$

Теперь, зная значение $x$, найдем длины сторон параллелограмма:$CD = AB = 8x = 8 \cdot 3 = 24$ см.$AD = BC = 10x = 10 \cdot 3 = 30$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 24 см и 30 см.

23. Два угла параллелограмма относятся как $3 : 7$. Найдите угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла.

23. Два угла параллелограмма относятся как $3 : 7$. Найдите угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, а противоположные углы равны. Поскольку данные в условии углы относятся как $3:7$, они не равны, следовательно, являются соседними. Обозначим их как $3x$ и $7x$.

Составим уравнение, исходя из свойства соседних углов:

$3x + 7x = 180^\circ$

$10x = 180^\circ$

$x = 18^\circ$

Теперь найдем величины углов параллелограмма:

Острый угол: $3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$.

Тупой угол: $7 \cdot 18^\circ = 126^\circ$.

Пусть $ABCD$ — параллелограмм, где $\angle B$ и $\angle D$ — тупые углы ($126^\circ$), а $\angle A$ и $\angle C$ — острые углы ($54^\circ$). Проведём из вершины тупого угла $B$ высоты $BH$ на прямую $AD$ и $BK$ на прямую $CD$. Требуется найти угол $\angle HBK$.

Рассмотрим четырехугольник $HBKD$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$. В этом четырехугольнике известны следующие углы:

$\angle BHD = 90^\circ$ (по определению высоты).

$\angle BKD = 90^\circ$ (по определению высоты).

$\angle D$ — это тупой угол параллелограмма, который равен $126^\circ$.

Найдем искомый угол $\angle HBK$ из уравнения для суммы углов четырехугольника:

$\angle HBK + \angle BHD + \angle D + \angle BKD = 360^\circ$

$\angle HBK + 90^\circ + 126^\circ + 90^\circ = 360^\circ$

$\angle HBK + 306^\circ = 360^\circ$

$\angle HBK = 360^\circ - 306^\circ = 54^\circ$

Таким образом, угол между высотами, проведёнными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма.

Ответ: $54^\circ$

24. В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $AM$ и $AN$. Найдите периметр параллелограмма, если $AM = 8 \text{ см}$, $AN = 11 \text{ см}$, $\angle BCD = 30^\circ$.

24. В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $AM$ и $AN$. Найдите периметр параллелограмма, если $AM = 8 \text{ см}$, $AN = 11 \text{ см}$, $\angle BCD = 30^{\circ}$.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. По условию, проведены высоты $AM$ и $AN$ из вершины $A$. Известно, что $AM = 8$ см, $AN = 11$ см, и $\angle BCD = 30^{\circ}$.

В параллелограмме противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^{\circ}$.

Найдем углы параллелограмма:

$\angle BAD = \angle BCD = 30^{\circ}$

$\angle ABC = \angle ADC = 180^{\circ} - \angle BCD = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$

Площадь параллелограмма можно вычислить как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Таким образом, площадь $S$ можно выразить двумя способами:

$S = CD \cdot AM$ (если $AM \perp CD$)

$S = BC \cdot AN$ (если $AN \perp BC$)

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $AM$, опущенной на прямую $CD$. Так как угол $\angle ADC = 150^{\circ}$ (тупой), основание высоты $M$ будет лежать на продолжении стороны $DC$ за вершину $D$.

Рассмотрим $\triangle ADM$. Он является прямоугольным ($\angle AMD = 90^{\circ}$). Угол $\angle ADM$ смежен с углом $\angle ADC$, следовательно:

$\angle ADM = 180^{\circ} - \angle ADC = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. В $\triangle ADM$ катет $AM$ лежит против угла $\angle ADM = 30^{\circ}$. Значит, гипотенуза $AD$ равна удвоенному катету $AM$:

$AD = 2 \cdot AM = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $AN$, опущенной на прямую $BC$. Так как угол $\angle ABC = 150^{\circ}$ (тупой), основание высоты $N$ будет лежать на продолжении стороны $CB$ за вершину $B$.

Рассмотрим $\triangle ABN$. Он является прямоугольным ($\angle ANB = 90^{\circ}$). Угол $\angle ABN$ смежен с углом $\angle ABC$, следовательно:

$\angle ABN = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABN$ катет $AN$ лежит против угла $\angle ABN = 30^{\circ}$. Значит, гипотенуза $AB$ равна удвоенному катету $AN$:

$AB = 2 \cdot AN = 2 \cdot 11 = 22$ см.

Мы нашли длины смежных сторон параллелограмма: $AB = 22$ см и $AD = 16$ см.

Периметр параллелограмма $P_{ABCD}$ равен удвоенной сумме его смежных сторон:

$P_{ABCD} = 2(AB + AD) = 2(22 + 16) = 2 \cdot 38 = 76$ см.

Ответ: 76 см.

25. На основании равнобедренного треугольника отмечена произвольная точка и через неё проведены прямые, параллельные его боковым сторонам. Периметр полученного параллелограмма равен 24 см. Найдите боковую сторону треугольника.

25. На основании равнобедренного треугольника отмечена произвольная точка и через неё проведены прямые, параллельные его боковым сторонам. Периметр полученного параллелограмма равен 24 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC$, а $AC$ — основание. Пусть $D$ — произвольная точка на основании $AC$.

Через точку $D$ проведены прямые $DF$ и $DE$, где $F$ лежит на $AB$, а $E$ лежит на $BC$, причем $DF \parallel BC$ и $DE \parallel AB$.

По построению четырехугольник $BFDE$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны. Периметр этого параллелограмма равен $P_{BFDE} = 2(BF + DF)$.

По условию задачи, $P_{BFDE} = 24$ см. Отсюда следует, что $2(BF + DF) = 24$, или $BF + DF = 12$ см.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Рассмотрим треугольник $AFD$. Угол $\angle FAD$ равен углу $\angle BAC$. Поскольку $DF \parallel BC$, то $\angle FDA = \angle BCA$ как соответственные углы при параллельных прямых $DF$ и $BC$ и секущей $AC$.

Таким образом, в треугольнике $AFD$ имеем $\angle FAD = \angle FDA$. Это означает, что треугольник $AFD$ — равнобедренный, и, следовательно, $AF = DF$.

Боковая сторона треугольника $ABC$ равна $AB = AF + FB$. Заменив $AF$ на равный ему отрезок $DF$, получаем: $AB = DF + FB$.

Как мы нашли ранее, $BF + DF = 12$ см. Следовательно, длина боковой стороны $AB$ равна 12 см.

Ответ: 12 см.