Страница 42 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

41. На рисунке 50 четырёхугольник $ABCD$ — ромб. Найдите угол $\alpha$.

Рис. 50

a

A B C D $72^\circ$ $\alpha$

б

A B C D $116^\circ$ $\alpha$

в

A B C D $54^\circ$ $\alpha$

41. На рисунке 50 четырёхугольник $ABCD$ — ромб. Найдите угол $\alpha$.

Рис. 50

а

$72^\circ$

$\alpha$

б

$116^\circ$

$\alpha$

в

$54^\circ$

$\alpha$

a

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ — ромб, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel DC$.

Прямая $BD$ является секущей для параллельных прямых $AB$ и $DC$. Углы $\angle ABD$ и $\angle BDC$ — это накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей. Следовательно, эти углы равны.

Из условия задачи нам дан угол $\angle ABD = 72^\circ$.

Таким образом, искомый угол $\alpha = \angle BDC = \angle ABD = 72^\circ$.

Ответ: $72^\circ$

б

По условию, $ABCD$ — ромб. Внешний угол при вершине $A$ равен $116^\circ$. Внутренний угол ромба $\angle DAB$ и внешний угол при той же вершине являются смежными, их сумма составляет $180^\circ$.

$\angle DAB = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$

Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Значит, $\angle ABC + \angle DAB = 180^\circ$.

Отсюда находим угол $\angle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$

В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов. Диагональ $BD$ делит угол $\angle ABC$ на два равных угла, $\angle ABD$ и $\angle CBD$.

Следовательно, искомый угол $\alpha = \angle CBD = \frac{1}{2}\angle ABC$.

$\alpha = \frac{116^\circ}{2} = 58^\circ$

Ответ: $58^\circ$

в

По условию, $ABCD$ — ромб. Противоположные стороны ромба параллельны, значит $BC \parallel AD$.

Диагональ $AC$ является секущей для параллельных прямых $BC$ и $AD$. Углы $\angle CAD$ (равный $\alpha$) и $\angle BCA$ являются накрест лежащими углами. Следовательно, они равны.

$\alpha = \angle CAD = \angle BCA$

Из условия известно, что $\angle BCA = 54^\circ$.

Таким образом, $\alpha = 54^\circ$.

Проверка другим способом: В ромбе все стороны равны, поэтому $AB = BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle BAC = \angle BCA = 54^\circ$. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому диагональ $AC$ делит угол $\angle DAB$ пополам. Отсюда следует, что $\angle CAD = \angle BAC = 54^\circ$, что подтверждает наш ответ.

Ответ: $54^\circ$

42. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, разность которых равна $30^\circ$.

42. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, разность которых равна $30^\circ$.

Пусть дан ромб. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом ($90^\circ$) и являются биссектрисами его углов. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный одной из сторон ромба (которая будет гипотенузой) и половинами его диагоналей (которые будут катетами).

Углы, которые сторона ромба образует с диагоналями, являются острыми углами этого прямоугольного треугольника. Сумма острых углов любого прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Обозначим эти углы как $\alpha$ и $\beta$. Тогда мы можем составить первое уравнение:$\alpha + \beta = 90^\circ$.

Согласно условию задачи, разность этих углов составляет $30^\circ$. Это дает нам второе уравнение. Предположим, что $\alpha$ — это больший угол, тогда:$\alpha - \beta = 30^\circ$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:$ \begin{cases} \alpha + \beta = 90^\circ \\ \alpha - \beta = 30^\circ \end{cases} $

Для решения системы сложим оба уравнения:$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 90^\circ + 30^\circ$
$2\alpha = 120^\circ$
$\alpha = 60^\circ$

Теперь, зная $\alpha$, найдем $\beta$, подставив его значение в первое уравнение:$60^\circ + \beta = 90^\circ$
$\beta = 90^\circ - 60^\circ$
$\beta = 30^\circ$

Таким образом, сторона ромба образует с его диагоналями углы в $60^\circ$ и $30^\circ$.

Поскольку диагонали в ромбе являются биссектрисами его внутренних углов, то каждый угол ромба вдвое больше соответствующего угла между стороной и диагональю.
Один угол ромба равен $2 \cdot \alpha = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.
Смежный с ним угол равен $2 \cdot \beta = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

В ромбе противолежащие углы равны. Следовательно, углы ромба равны $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$ и $120^\circ$.
Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

43. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, которые относятся как 3 : 7.

43. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, которые относятся как $3 : 7$.

Пусть дан ромб. Его диагонали взаимно перпендикулярны и, пересекаясь, делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Углы, которые сторона ромба (являющаяся гипотенузой в таком треугольнике) образует с диагоналями (являющимися катетами), — это острые углы этого прямоугольного треугольника. Обозначим их как $\alpha$ и $\beta$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна $90^\circ$, следовательно, $\alpha + \beta = 90^\circ$.

По условию задачи, отношение этих углов составляет $3:7$. Примем, что $\alpha = 3x$ и $\beta = 7x$. Составим и решим уравнение:
$3x + 7x = 90^\circ$
$10x = 90^\circ$
$x = 9^\circ$

Теперь найдем величины углов $\alpha$ и $\beta$:
$\alpha = 3 \cdot 9^\circ = 27^\circ$
$\beta = 7 \cdot 9^\circ = 63^\circ$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Это означает, что углы ромба равны удвоенным значениям углов $\alpha$ и $\beta$.
Один из углов ромба равен $2\alpha = 2 \cdot 27^\circ = 54^\circ$.
Смежный с ним угол ромба равен $2\beta = 2 \cdot 63^\circ = 126^\circ$.

В ромбе противолежащие углы равны, поэтому два угла равны $54^\circ$, а два других — $126^\circ$.

Ответ: $54^\circ, 126^\circ, 54^\circ, 126^\circ$.

44. Угол между высотами $DK$ и $DE$, проведёнными из вершины $D$ ромба $ABCD$, равен $140^{\circ}$. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.

44. Угол между высотами $DK$ и $DE$, проведёнными из вершины $D$ ромба $ABCD$, равен $140^\circ$. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.

Пусть дан ромб $ABCD$. Из вершины $D$ проведены высоты $DK$ и $DE$. По определению высоты параллелограмма (и ромба), они проводятся к прямым, содержащим стороны, не проходящие через данную вершину. Таким образом, $DK$ и $DE$ — это перпендикуляры, опущенные из точки $D$ на прямые $AB$ и $BC$ соответственно. То есть $DK \perp AB$ и $DE \perp BC$. По условию, угол между этими высотами $\angle KDE = 140^\circ$.

Для нахождения углов ромба рассмотрим два возможных случая, зависящих от того, являются ли углы при вершинах $A$ и $C$ острыми или тупыми.

Случай 1: Углы $\angle A$ и $\angle C$ — острые.В этом случае основания высот, проведенных из вершины $D$ к прямым $AB$ и $BC$, будут лежать на самих сторонах $AB$ и $BC$. Рассмотрим четырехугольник $BKDE$. Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Углы $\angle DKB$ и $\angle DEB$ прямые и равны $90^\circ$, так как $DK$ и $DE$ — высоты. Угол $\angle B$ является углом ромба, смежным с углом $\angle A$, поэтому он тупой. Сумма углов четырехугольника $BKDE$ равна:$\angle B + \angle DKB + \angle KDE + \angle DEB = 360^\circ$$\angle B + 90^\circ + 140^\circ + 90^\circ = 360^\circ$$\angle B + 320^\circ = 360^\circ$$\angle B = 40^\circ$Полученное значение угла $\angle B$ является острым, что противоречит нашему предположению о том, что угол $\angle B$ — тупой. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: Углы $\angle A$ и $\angle C$ — тупые.В этом случае углы $\angle B$ и $\angle D$ — острые. Поскольку угол $\angle A$ тупой, основание высоты $K$, проведенной из $D$ к прямой $AB$, будет лежать на продолжении стороны $AB$ за точку $A$. Аналогично, так как угол $\angle C$ тупой, основание высоты $E$ будет лежать на продолжении стороны $BC$ за точку $C$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DAK$. Внешний угол при вершине $A$ ромба, $\angle DAK$, равен $180^\circ - \angle DAB$. Тогда угол $\angle ADK$ равен:$\angle ADK = 90^\circ - \angle DAK = 90^\circ - (180^\circ - \angle DAB) = \angle DAB - 90^\circ$.Аналогично, в прямоугольном треугольнике $\triangle DCE$ угол $\angle CDE$ равен:$\angle CDE = \angle DCB - 90^\circ$.Поскольку в ромбе $\angle DAB = \angle DCB$, то $\angle ADK = \angle CDE$.Угол между высотами $\angle KDE$ складывается из трех углов: $\angle ADK$, угла ромба $\angle ADC$ и угла $\angle CDE$.$\angle KDE = \angle ADK + \angle ADC + \angle CDE$$\angle KDE = (\angle DAB - 90^\circ) + \angle ADC + (\angle DAB - 90^\circ)$.Так как $\angle ADC$ и $\angle DAB$ — смежные углы ромба, их сумма равна $180^\circ$, то есть $\angle ADC = 180^\circ - \angle DAB$. Подставим это в выражение:$140^\circ = (\angle DAB - 90^\circ) + (180^\circ - \angle DAB) + (\angle DAB - 90^\circ)$$140^\circ = \angle DAB - 90^\circ + 180^\circ - \angle DAB + \angle DAB - 90^\circ$$140^\circ = \angle DAB$.Таким образом, тупые углы ромба $\angle A = \angle C = 140^\circ$.Острые углы ромба $\angle B = \angle D = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.Это соответствует нашему предположению.

Теперь найдем углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.Рассмотрим сторону $AD$.Угол между стороной $AD$ и диагональю $AC$ равен половине угла $\angle DAB$:$\angle DAC = \frac{\angle DAB}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ$.Угол между стороной $AD$ и диагональю $BD$ равен половине угла $\angle ADC$:$\angle ADB = \frac{\angle ADC}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$.

Ответ: $20^\circ$ и $70^\circ$.

45. Угол между высотой и диагональю ромба, проведёнными из вершины острого угла, равен $54^\circ$. Найдите углы ромба.

45. Угол между высотой и диагональю ромба, проведёнными из вершины острого угла, равен $54^\circ$. Найдите углы ромба.

Пусть дан ромб $ABCD$. Предположим, что $\angle A$ является острым углом. Из вершины $A$ проведем высоту $AH$ к стороне $CD$ и диагональ $AC$.

Согласно условию задачи, угол между высотой $AH$ и диагональю $AC$ составляет $54^\circ$. Это означает, что $\angle HAC = 54^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AHC$. Так как $AH$ является высотой, опущенной на сторону $CD$, то $\angle AHC = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $AHC$ — прямоугольный.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Для треугольника $AHC$ это означает:
$\angle HAC + \angle ACH = 90^\circ$

Мы можем найти угол $\angle ACH$:
$\angle ACH = 90^\circ - \angle HAC = 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ$.

Угол $\angle ACH$ является частью угла ромба $\angle BCD$. Одно из ключевых свойств ромба заключается в том, что его диагонали являются биссектрисами углов. Таким образом, диагональ $AC$ делит угол $\angle BCD$ на два равных угла: $\angle BCA = \angle ACD$.

Поскольку $\angle ACH$ это то же самое, что и $\angle ACD$, то полный угол $\angle C$ ромба равен:
$\angle C = \angle BCD = 2 \cdot \angle ACH = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$.

Противоположные углы ромба равны, поэтому острые углы ромба $\angle A$ и $\angle C$ равны $72^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180^\circ$. Найдем величину тупого угла $\angle D$ (или $\angle B$):
$\angle D = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

Таким образом, тупые углы ромба $\angle B$ и $\angle D$ равны $108^\circ$.

Ответ: углы ромба равны $72^\circ$ и $108^\circ$.

46. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найдите меньшую диагональ ромба, если его сторона равна 18 см.

46. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найдите меньшую диагональ ромба, если его сторона равна 18 см.

Пусть дан ромб ABCD со стороной $a = 18$ см. Пусть B — вершина тупого угла. Проведем из вершины B высоту BH на сторону AD.

По условию задачи, высота BH делит сторону AD пополам, то есть точка H является серединой отрезка AD. Следовательно, длина отрезка AH равна половине длины стороны ромба:

$AH = \frac{AD}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Рассмотрим треугольник ΔABH. Он является прямоугольным, так как BH — высота ($ \angle AHB = 90^\circ $). В этом треугольнике гипотенуза AB равна стороне ромба (18 см), а катет AH равен 9 см.

Найдем острый угол ромба $ \angle A $, используя определение косинуса в прямоугольном треугольнике:

$ \cos(\angle A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} $

Из этого соотношения следует, что острый угол ромба $ \angle A = 60^\circ $. Противоположный ему угол $ \angle C $ также равен $ 60^\circ $.

Сумма соседних углов ромба равна $ 180^\circ $, поэтому тупой угол $ \angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $. Это соответствует условию, что высота проведена из вершины тупого угла.

Нам нужно найти меньшую диагональ ромба. Меньшая диагональ ромба лежит напротив его острого угла. Рассмотрим треугольник ΔABD, образованный двумя сторонами ромба AB, AD и диагональю BD. В этом треугольнике $ AB = AD = 18 $ см, а угол между ними $ \angle A = 60^\circ $.

Поскольку треугольник ΔABD является равнобедренным с углом $ 60^\circ $ при вершине, он также является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны:

$ BD = AB = AD = 18 $ см.

Диагональ BD лежит напротив острого угла в 60°, а другая диагональ AC лежит напротив тупого угла в 120°, поэтому BD является меньшей диагональю.

Таким образом, меньшая диагональ ромба равна его стороне.

Ответ: 18 см.

47. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Серединный перпендикуляр отрезка $AK$ пересекает сторону $AD$ в точке $P$. Найдите сторону $AB$, если периметр четырёхугольника $ABKP$ равен 36 см.

47. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Серединный перпендикуляр отрезка $AK$ пересекает сторону $AD$ в точке $P$. Найдите сторону $AB$, если периметр четырёхугольника $ABKP$ равен $36$ см.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. По условию, $AK$ является биссектрисой угла $A$, следовательно, $\angle BAK = \angle DAK$.Поскольку в параллелограмме противолежащие стороны параллельны, то $AD \parallel BC$. Прямая $AK$ является секущей для этих параллельных прямых. Поэтому накрест лежащие углы $\angle DAK$ и $\angle BKA$ равны.Из этих двух равенств следует, что $\angle BAK = \angle BKA$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. Так как два его угла равны ($\angle BAK = \angle BKA$), он является равнобедренным с основанием $AK$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $AB = BK$.

Далее, по условию, точка $P$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AK$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Таким образом, $PA = PK$. Это означает, что треугольник $APK$ также является равнобедренным с основанием $AK$.

Рассмотрим углы треугольника $APK$. Угол $\angle PAK$ является частью угла $\angle DAK$, а так как точка $P$ лежит на стороне $AD$, то $\angle PAK = \angle DAK$. Мы уже знаем, что $\angle DAK = \angle BAK$. Следовательно, $\angle PAK = \angle BAK$. В равнобедренном треугольнике $APK$ углы при основании $AK$ равны, поэтому $\angle PKA = \angle PAK$.Таким образом, мы установили следующую цепочку равенств углов: $\angle PKA = \angle PAK = \angle BAK = \angle BKA$.

Теперь сравним треугольники $ABK$ и $APK$. У них общая сторона $AK$. Углы, прилежащие к этой стороне в обоих треугольниках, соответственно равны: $\angle BAK = \angle PAK$ и $\angle BKA = \angle PKA$. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ABK \cong \triangle APK$.Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = PA$.

Периметр четырёхугольника $ABKP$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABKP} = AB + BK + KP + PA$.По условию, периметр равен 36 см. Используя ранее найденные равенства $BK = AB$ и $KP = PA$, подставим их в формулу периметра:$P_{ABKP} = AB + (AB) + (PA) + PA = 2AB + 2PA$.

Получаем уравнение: $2AB + 2PA = 36$, что можно упростить до $AB + PA = 18$.

Наконец, используем ключевое равенство $AB = PA$, полученное из конгруэнтности треугольников. Подставим его в уравнение для периметра:$AB + AB = 18$$2AB = 18$$AB = 9$ см.

Ответ: 9 см.

48. Докажите, что ромб, диагонали которого равны, является квадратом.

48. Докажите, что ромб, диагонали которого равны, является квадратом.

Пусть нам дан ромб, обозначим его ABCD. По определению ромба, все его стороны равны: $AB = BC = CD = DA$.

По условию задачи, диагонали этого ромба равны. Обозначим диагонали как AC и BD, тогда $AC = BD$.

Рассмотрим два треугольника, которые образуются внутри ромба: $\triangle ABC$ и $\triangle BAD$. Сравним эти треугольники:

• Сторона $AB$ является общей для обоих треугольников.
• Стороны $BC$ и $AD$ равны, так как это стороны одного и того же ромба ($BC = AD$).
• Стороны $AC$ и $BD$ равны по условию ($AC = BD$).

Таким образом, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle BAD$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В данном случае нас интересуют углы $\angle ABC$ и $\angle BAD$. Следовательно, $\angle ABC = \angle BAD$.

Ромб является частным случаем параллелограмма. Одно из свойств параллелограмма заключается в том, что сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Для стороны $AB$ это свойство записывается как:
$\angle ABC + \angle BAD = 180^\circ$.

Поскольку мы уже доказали, что $\angle ABC = \angle BAD$, мы можем заменить в этом уравнении $\angle ABC$ на $\angle BAD$:
$\angle BAD + \angle BAD = 180^\circ$
$2 \cdot \angle BAD = 180^\circ$
$\angle BAD = 90^\circ$.

Итак, мы имеем ромб, у которого один из углов прямой. Ромб с прямым углом по определению является квадратом (так как у ромба противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $180^\circ$, то наличие одного прямого угла гарантирует, что все остальные углы также будут прямыми).

Следовательно, ромб с равными диагоналями является квадратом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

49. Периметр квадрата равен 36 см. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до его сторон.

49. Периметр квадрата равен 36 см. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до его сторон.

Для решения задачи сначала найдем длину стороны квадрата, зная его периметр. Периметр квадрата ($P$) связан с его стороной ($a$) формулой:

$P = 4a$

По условию, периметр равен 36 см. Подставим это значение в формулу:

$36 = 4a$

Отсюда найдем длину стороны $a$:

$a = \frac{36}{4} = 9$ см.

Точка пересечения диагоналей является центром квадрата. Расстояние от центра квадрата до любой из его сторон равно половине длины стороны. Это можно представить, проведя через центр квадрата отрезок, параллельный двум сторонам и соединяющий две другие. Длина этого отрезка будет равна стороне квадрата, а центр разделит его пополам.

Таким образом, искомое расстояние ($d$) равно:

$d = \frac{a}{2}$

Подставим найденное значение стороны $a = 9$ см:

$d = \frac{9}{2} = 4,5$ см.

Ответ: 4,5 см.