Страница 46 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Точка A окружности и её центр O лежат по разные стороны от хорды MN. Найдите:

1) угол MAN, если $ \angle MON = 136^\circ $;

2) угол MON, если $ \angle MAN = 129^\circ $.

84. Точка A окружности и её центр O лежат по разные стороны от хорды MN. Найдите:

1) угол MAN, если $\angle MON = 136^\circ$;

2) угол MON, если $\angle MAN = 129^\circ$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами центральных и вписанных углов окружности.

Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности. Его градусная мера равна градусной мере дуги, на которую он опирается. В нашем случае это угол $\angle MON$.

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. В нашем случае это угол $\angle MAN$.

Хорда $MN$ делит окружность на две дуги: меньшую и большую. По условию, точка $A$ и центр $O$ лежат по разные стороны от хорды $MN$. Это означает, что центральный угол $\angle MON$ опирается на меньшую дугу $MN$, а вписанный угол $\angle MAN$ — на большую дугу $MN$.

Сумма градусных мер этих двух дуг составляет $360°$. Обозначим меньшую дугу как $\stackrel{\frown}{MN}_{м}$, а большую — как $\stackrel{\frown}{MN}_{б}$.Тогда:

• $m(\stackrel{\frown}{MN}_{м}) = \angle MON$
• $m(\stackrel{\frown}{MN}_{б}) = 2 \cdot \angle MAN$
• $m(\stackrel{\frown}{MN}_{м}) + m(\stackrel{\frown}{MN}_{б}) = 360°$

Из этих соотношений получаем общую формулу для решения задачи: $\angle MON + 2 \cdot \angle MAN = 360°$.

1) Найти угол $MAN$, если $\angle MON = 136°$.

Подставим известное значение $\angle MON$ в нашу формулу:
$136° + 2 \cdot \angle MAN = 360°$
$2 \cdot \angle MAN = 360° - 136°$
$2 \cdot \angle MAN = 224°$
$\angle MAN = \frac{224°}{2}$
$\angle MAN = 112°$
Ответ: $112°$.

2) Найти угол $MON$, если $\angle MAN = 129°$.

Подставим известное значение $\angle MAN$ в нашу формулу:
$\angle MON + 2 \cdot 129° = 360°$
$\angle MON + 258° = 360°$
$\angle MON = 360° - 258°$
$\angle MON = 102°$
Ответ: $102°$.

85. Точки K и D лежат на окружности по разные стороны от хорды AB. Найдите угол $ADB$, если $\angle AKB = 107^\circ$.

85. Точки $K$ и $D$ лежат на окружности по разные стороны от хорды $AB$. Найдите угол $ADB$, если $\angle AKB = 107^{\circ}$.

Поскольку точки K и D лежат на одной окружности по разные стороны от хорды AB, то четырехугольник AKBD является вписанным в эту окружность.

Основное свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противолежащих углов равна $180°$. В четырехугольнике AKBD углы $∠AKB$ и $∠ADB$ являются противолежащими.

Следовательно, мы можем записать следующее равенство:
$∠AKB + ∠ADB = 180°$

Из условия задачи известно, что $∠AKB = 107°$. Подставим это значение в формулу и выразим искомый угол $∠ADB$:
$107° + ∠ADB = 180°$
$∠ADB = 180° - 107°$
$∠ADB = 73°$

Ответ: 73°

86. Около треугольника $DEF$ описана окружность с центром $O$. Найдите угол $DOF$, если:

1) $\angle E = 38^\circ$;

2) $\angle E = 148^\circ$.

86. Около треугольника $DEF$ описана окружность с центром $O$. Найдите угол $DOF$, если:

1) $\angle E = 38^{\circ}$;

2) $\angle E = 148^{\circ}$.

Угол $ \angle E $ (или $ \angle DEF $) — это вписанный в окружность угол, а $ \angle DOF $ — соответствующий ему центральный угол, так как они опираются на одну и ту же дугу $ DF $. Связь между вписанным и центральным углами, опирающимися на одну дугу, зависит от того, является ли вписанный угол острым или тупым.

Вписанный угол $ \angle E $ является острым ($ 38^{\circ} < 90^{\circ} $). В этом случае величина центрального угла, опирающегося на ту же дугу, в два раза больше величины вписанного угла.

Формула: $ \angle DOF = 2 \cdot \angle E $.

Подставляем данное значение:

$ \angle DOF = 2 \cdot 38^{\circ} = 76^{\circ} $.

Ответ: $ 76^{\circ} $

Вписанный угол $ \angle E $ является тупым ($ 148^{\circ} > 90^{\circ} $). Это означает, что он опирается на большую дугу окружности (дугу, градусная мера которой больше $ 180^{\circ} $). Искомый центральный угол $ \angle DOF $ (по умолчанию имеется в виду угол, меньший $ 180^{\circ} $) опирается на меньшую дугу $ DF $.

Сумма вписанного угла, опирающегося на меньшую дугу, и вписанного угла, опирающегося на большую дугу, равна $ 180^{\circ} $. Пусть угол, опирающийся на меньшую дугу $ DF $, будет $ \angle E' $. Тогда:

$ \angle E' = 180^{\circ} - \angle E = 180^{\circ} - 148^{\circ} = 32^{\circ} $.

Теперь мы можем найти центральный угол $ \angle DOF $, который опирается на ту же (меньшую) дугу, что и угол $ \angle E' $:

$ \angle DOF = 2 \cdot \angle E' = 2 \cdot 32^{\circ} = 64^{\circ} $.

Другой способ рассуждения: тупой вписанный угол $ \angle E = 148^{\circ} $ опирается на дугу, градусная мера которой равна $ 2 \cdot 148^{\circ} = 296^{\circ} $. Это большая дуга $ DF $. Центральный угол $ \angle DOF $ опирается на меньшую дугу $ DF $. Её градусная мера равна:

$ 360^{\circ} - 296^{\circ} = 64^{\circ} $.

Величина центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается, следовательно, $ \angle DOF = 64^{\circ} $.

Ответ: $ 64^{\circ} $

87. Точки $B$, $C$ и $D$ делят окружность на три дуги так, что $\overset{\frown}{BC} : \overset{\frown}{CD} : \overset{\frown}{BD} = 3 : 4 : 5$. Найдите углы треугольника $BCD$.

87. Точки B, C и D делят окружность на три дуги так, что $\cup BC : \cup CD : \cup BD = 3 : 4 : 5$. Найдите углы треугольника BCD.

Сумма градусных мер дуг, на которые точки B, C и D делят окружность, составляет $360^\circ$. По условию, их меры относятся как $3:4:5$.

Пусть $x$ — это одна часть в данном отношении. Тогда градусные меры дуг можно выразить следующим образом:

• $◡BC = 3x$
• $◡CD = 4x$
• $◡BD = 5x$

Составим уравнение, исходя из того, что сумма всех дуг равна $360^\circ$:
$3x + 4x + 5x = 360^\circ$
$12x = 360^\circ$
$x = \frac{360^\circ}{12}$
$x = 30^\circ$

Теперь найдем градусную меру каждой дуги:

• $◡BC = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$
• $◡CD = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$
• $◡BD = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$

Углы треугольника BCD являются вписанными в окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

• Угол $∠BDC$ опирается на дугу $◡BC$. Его величина равна:
  $∠BDC = \frac{1}{2} ◡BC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$
• Угол $∠CBD$ опирается на дугу $◡CD$. Его величина равна:
  $∠CBD = \frac{1}{2} ◡CD = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$
• Угол $∠BCD$ опирается на дугу $◡BD$. Его величина равна:
  $∠BCD = \frac{1}{2} ◡BD = \frac{1}{2} \cdot 150^\circ = 75^\circ$

Проверка: сумма углов треугольника должна быть равна $180^\circ$.
$45^\circ + 60^\circ + 75^\circ = 180^\circ$.
Вычисления верны.

Ответ: $45^\circ$, $60^\circ$, $75^\circ$.

88. Около треугольника ABC описана окружность с центром O. Найдите углы $AOB$, $BOC$ и $AOC$, если

1) $\angle A = 48^{\circ}$, $\angle C = 63^{\circ}$;

2) $\angle A = 37^{\circ}$, $\angle C = 44^{\circ}$.

88. Около треугольника $ABC$ описана окружность с центром $O$. Найдите углы $AOB$, $BOC$ и $AOC$, если

1) $\angle A = 48^\circ, \angle C = 63^\circ$;

2) $\angle A = 37^\circ, \angle C = 44^\circ$.

Для решения задачи используется свойство вписанных и центральных углов в окружности: центральный угол, опирающийся на некоторую дугу, в два раза больше любого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанный угол $\angle A$ (или $\angle BAC$) опирается на дугу $BC$, следовательно, центральный угол $\angle BOC = 2 \cdot \angle A$.
Вписанный угол $\angle B$ (или $\angle ABC$) опирается на дугу $AC$, следовательно, центральный угол $\angle AOC = 2 \cdot \angle B$.
Вписанный угол $\angle C$ (или $\angle ACB$) опирается на дугу $AB$, следовательно, центральный угол $\angle AOB = 2 \cdot \angle C$.

1) Дано: $\angle A = 48^\circ, \angle C = 63^\circ$.

Сначала найдем величину угла $\angle B$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.
$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (48^\circ + 63^\circ) = 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ$.

Теперь найдем искомые центральные углы:

• $\angle BOC = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 48^\circ = 96^\circ$.
• $\angle AOB = 2 \cdot \angle C = 2 \cdot 63^\circ = 126^\circ$.
• $\angle AOC = 2 \cdot \angle B = 2 \cdot 69^\circ = 138^\circ$.

Проверим, что сумма центральных углов равна $360^\circ$:
$96^\circ + 126^\circ + 138^\circ = 360^\circ$.
Так как все углы треугольника $ABC$ острые, центр описанной окружности $O$ находится внутри треугольника.

Ответ: $\angle AOB = 126^\circ$, $\angle BOC = 96^\circ$, $\angle AOC = 138^\circ$.

2) Дано: $\angle A = 37^\circ, \angle C = 44^\circ$.

Сначала найдем величину угла $\angle B$ в треугольнике $ABC$.
$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (37^\circ + 44^\circ) = 180^\circ - 81^\circ = 99^\circ$.

Так как $\angle B > 90^\circ$, треугольник $ABC$ является тупоугольным. Это означает, что центр описанной окружности $O$ лежит вне треугольника.

Найдем центральные углы:

• $\angle BOC = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 37^\circ = 74^\circ$.
• $\angle AOB = 2 \cdot \angle C = 2 \cdot 44^\circ = 88^\circ$.
• Вписанный угол $\angle B = 99^\circ$ опирается на большую (основную) дугу $AC$. Соответствующий центральный угол, который также опирается на эту дугу, будет больше $180^\circ$ (рефлексный угол). Его величина равна $2 \cdot \angle B = 2 \cdot 99^\circ = 198^\circ$. Обычно под $\angle AOC$ подразумевают меньший угол ($< 180^\circ$), который опирается на меньшую дугу $AC$. Его можно найти, вычтя из полного угла $360^\circ$:
  $\angle AOC = 360^\circ - 2 \cdot \angle B = 360^\circ - 198^\circ = 162^\circ$.

Для тупоугольного треугольника с тупым углом при вершине $B$ центральный угол $\angle AOC$ равен сумме двух других центральных углов: $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$.
Проверим: $162^\circ = 88^\circ + 74^\circ$, что является верным равенством.

Ответ: $\angle AOB = 88^\circ$, $\angle BOC = 74^\circ$, $\angle AOC = 162^\circ$.

89. Найдите углы равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, если боковая сторона этого треугольника стягивает дугу, градусная мера которой равна $38^\circ$.

89. Найдите углы равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, если боковая сторона этого треугольника стягивает дугу, градусная мера которой равна $38^{\circ}$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, вписанный в окружность. В равнобедренном треугольнике две стороны равны (это боковые стороны), и углы при основании также равны.

Возможны два случая расположения боковых сторон и основания, но, как мы увидим, они приводят к одному и тому же набору углов.

1. Пусть боковые стороны — это $AB$ и $BC$, а основание — $AC$.

В этом случае $AB = BC$. Углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.
По свойству вписанного в окружность многоугольника, равные хорды стягивают равные дуги. Следовательно, дуга $AB$ равна дуге $BC$: $\cup AB = \cup BC$.

По условию задачи, боковая сторона стягивает дугу в $38°$. Значит:

$\cup AB = \cup BC = 38°$

Вершины треугольника $A$, $B$, и $C$ делят окружность на три дуги: $\cup AB$, $\cup BC$, и $\cup AC$. Сумма градусных мер этих дуг равна $360°$.

$\cup AB + \cup BC + \cup AC = 360°$

Подставим известные значения:

$38° + 38° + \cup AC = 360°$

$76° + \cup AC = 360°$

$\cup AC = 360° - 76° = 284°$

Теперь найдем углы треугольника. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

• Угол при основании $\angle BAC$ опирается на дугу $BC$:
  $\angle BAC = \frac{1}{2} \cup BC = \frac{38°}{2} = 19°$
• Угол при основании $\angle BCA$ опирается на дугу $AB$:
  $\angle BCA = \frac{1}{2} \cup AB = \frac{38°}{2} = 19°$
• Угол при вершине $\angle ABC$ опирается на дугу $AC$:
  $\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC = \frac{284°}{2} = 142°$

Проверим сумму углов: $19° + 19° + 142° = 180°$.

Таким образом, углы треугольника равны $19°$, $19°$ и $142°$.

2. Пусть боковые стороны — это $AB$ и $AC$, а основание — $BC$.

В этом случае $AB = AC$. Углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB$.
Так как хорды $AB$ и $AC$ равны, то равны и дуги, которые они стягивают: $\cup AB = \cup AC$.По условию, дуга, стягиваемая боковой стороной, равна $38°$.

$\cup AB = \cup AC = 38°$

Третья дуга $\cup BC$ равна:

$\cup BC = 360° - (\cup AB + \cup AC) = 360° - (38° + 38°) = 360° - 76° = 284°$

Найдем углы треугольника:

• Угол при основании $\angle ABC$ опирается на дугу $AC$:
  $\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC = \frac{38°}{2} = 19°$
• Угол при основании $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$:
  $\angle ACB = \frac{1}{2} \cup AB = \frac{38°}{2} = 19°$
• Угол при вершине $\angle BAC$ опирается на дугу $BC$:
  $\angle BAC = \frac{1}{2} \cup BC = \frac{284°}{2} = 142°$

В обоих случаях мы получаем один и тот же набор углов.

Ответ: Углы равнобедренного треугольника равны $19°$, $19°$ и $142°$.

90. Точка $O$ — центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника $DEF$ ($DF = EF$). Найдите углы треугольника $DEF$, если $\angle DOE = 116^\circ$. Сколько решений имеет задача?

90. Точка $O$ — центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника $DEF$ ($DF = EF$). Найдите углы треугольника $DEF$, если $\angle DOE = 116^\circ$. Сколько решений имеет задача?

По условию задачи, $O$ — центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника $DEF$, в котором $DF = EF$. Это означает, что $DE$ является основанием треугольника, а углы при основании равны: $\angle EDF = \angle DEF$.

Угол $\angle DOE$ является центральным углом, опирающимся на дугу $DE$. Его величина составляет $116^\circ$. Угол $\angle DFE$ — это вписанный угол, который также опирается на дугу $DE$. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

В зависимости от того, на какую дугу (меньшую или большую) опирается угол $\angle DFE$, задача имеет два возможных решения. Это определяется положением центра окружности $O$ относительно треугольника $DEF$.

Случай 1. Треугольник $DEF$ — остроугольный.

В этом случае центр описанной окружности $O$ лежит внутри треугольника. Угол $\angle DFE$ опирается на меньшую дугу $DE$, градусная мера которой равна величине центрального угла $\angle DOE$.

$\angle DFE = \frac{1}{2} \smile DE = \frac{1}{2} \angle DOE = \frac{116^\circ}{2} = 58^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Так как $\angle EDF = \angle DEF$, находим эти углы:

$\angle EDF = \angle DEF = \frac{180^\circ - \angle DFE}{2} = \frac{180^\circ - 58^\circ}{2} = \frac{122^\circ}{2} = 61^\circ$.

Таким образом, в первом случае углы треугольника равны $61^\circ, 61^\circ$ и $58^\circ$.

Случай 2. Треугольник $DEF$ — тупоугольный.

В этом случае центр описанной окружности $O$ лежит вне треугольника. Угол $\angle DFE$ является тупым и опирается на большую дугу $DE$. Градусная мера меньшей дуги $DE$ равна $116^\circ$, следовательно, градусная мера большей дуги $DE$ равна:

$360^\circ - 116^\circ = 244^\circ$.

Находим величину вписанного угла $\angle DFE$:

$\angle DFE = \frac{1}{2} \cdot 244^\circ = 122^\circ$.

Теперь находим углы при основании $DE$:

$\angle EDF = \angle DEF = \frac{180^\circ - \angle DFE}{2} = \frac{180^\circ - 122^\circ}{2} = \frac{58^\circ}{2} = 29^\circ$.

Таким образом, во втором случае углы треугольника равны $29^\circ, 29^\circ$ и $122^\circ$.

Ответ: Углы треугольника $DEF$ могут быть равны $61^\circ, 61^\circ, 58^\circ$ или $29^\circ, 29^\circ, 122^\circ$.

Поскольку было найдено два различных набора углов, удовлетворяющих условиям задачи, то задача имеет два решения.

Ответ: 2.

91. Точки $D$ и $B$ окружности лежат по одну сторону от диаметра $AC$ (рис. 51). Найдите угол $ABD$, если $\angle DBC = 122^{\circ}$.

Рис. 51

91. Точки D и B окружности лежат по одну сторону от диаметра AC (рис. 51). Найдите угол ABD, если $\angle DBC = 122^\circ$.

Рис. 51

Так как AC — диаметр окружности, то вписанный угол, опирающийся на него, является прямым. В данном случае это угол $\angle ABC$.

Следовательно, $\angle ABC = 90°$.

По условию задачи дано, что $\angle DBC = 122°$. Из рисунка видно, что луч BA находится между лучами BD и BC, поэтому угол $\angle DBC$ состоит из суммы двух углов: $\angle ABD$ и $\angle ABC$. Таким образом, справедливо равенство:

$\angle DBC = \angle ABD + \angle ABC$

Для нахождения искомого угла $\angle ABD$ выразим его из этого равенства:

$\angle ABD = \angle DBC - \angle ABC$

Подставим известные значения и произведем вычисление:

$\angle ABD = 122° - 90° = 32°$

Ответ: $32°$.

92. Точки $D$ и $B$ окружности лежат по одну сторону от диаметра $AC$ (рис. 52). Найдите угол $ABD$, если $\angle DAC = 52^\circ$.

Рис. 52

92. Точки D и B окружности лежат по одну сторону от диаметра AC (рис. 52). Найдите угол ABD, если $\angle DAC = 52^\circ$.

Рис. 52

Поскольку отрезок AC является диаметром окружности, то вписанный угол $\angle ADC$, опирающийся на этот диаметр, равен $90^{\circ}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$. Следовательно, мы можем найти угол $\angle ACD$:

$\angle ACD = 90^{\circ} - \angle DAC$

Подставим известное значение $\angle DAC = 52^{\circ}$:

$\angle ACD = 90^{\circ} - 52^{\circ} = 38^{\circ}$

Углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$ являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу AD. По свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.

Таким образом, $\angle ABD = \angle ACD = 38^{\circ}$.

Ответ: $38^{\circ}$

93. Две окружности пересекаются в точках E и F. Через точку E проведены диаметры ED и EK. Найдите углы DEF и KEF, если $\angle EDF = 35^\circ$, $\angle EKF = 50^\circ$.

93. Две окружности пересекаются в точках $E$ и $F$. Через точку $E$ проведены диаметры $ED$ и $EK$. Найдите углы $DEF$ и $KEF$, если $\angle EDF = 35^\circ$, $\angle EKF = 50^\circ$.

Найдите угол DEF

Рассмотрим окружность, для которой отрезок $ED$ является диаметром. Точки $E$, $D$ и $F$ лежат на этой окружности. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр, является прямым. Угол $\angle EFD$ опирается на диаметр $ED$, следовательно, $\angle EFD = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle EDF$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Нам известны два угла в этом треугольнике: $\angle EDF = 35^\circ$ (согласно условию) и $\angle EFD = 90^\circ$.

Найдем искомый угол $\angle DEF$:

$\angle DEF = 180^\circ - \angle EDF - \angle EFD$

$\angle DEF = 180^\circ - 35^\circ - 90^\circ = 55^\circ$

Ответ: $55^\circ$

Найдите угол KEF

Рассмотрим вторую окружность, для которой отрезок $EK$ является диаметром. Точки $E$, $K$ и $F$ лежат на этой окружности. По тому же свойству, угол $\angle EFK$, опирающийся на диаметр $EK$, равен $90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle EKF$. Сумма его углов также равна $180^\circ$. Нам известны углы $\angle EKF = 50^\circ$ (согласно условию) и $\angle EFK = 90^\circ$.

Найдем искомый угол $\angle KEF$:

$\angle KEF = 180^\circ - \angle EKF - \angle EFK$

$\angle KEF = 180^\circ - 50^\circ - 90^\circ = 40^\circ$

Ответ: $40^\circ$