Номер 89, страница 46 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

89. Найдите углы равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, если боковая сторона этого треугольника стягивает дугу, градусная мера которой равна $38^\circ$.

89. Найдите углы равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, если боковая сторона этого треугольника стягивает дугу, градусная мера которой равна $38^{\circ}$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, вписанный в окружность. В равнобедренном треугольнике две стороны равны (это боковые стороны), и углы при основании также равны.

Возможны два случая расположения боковых сторон и основания, но, как мы увидим, они приводят к одному и тому же набору углов.

1. Пусть боковые стороны — это $AB$ и $BC$, а основание — $AC$.

В этом случае $AB = BC$. Углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.
По свойству вписанного в окружность многоугольника, равные хорды стягивают равные дуги. Следовательно, дуга $AB$ равна дуге $BC$: $\cup AB = \cup BC$.

По условию задачи, боковая сторона стягивает дугу в $38°$. Значит:

$\cup AB = \cup BC = 38°$

Вершины треугольника $A$, $B$, и $C$ делят окружность на три дуги: $\cup AB$, $\cup BC$, и $\cup AC$. Сумма градусных мер этих дуг равна $360°$.

$\cup AB + \cup BC + \cup AC = 360°$

Подставим известные значения:

$38° + 38° + \cup AC = 360°$

$76° + \cup AC = 360°$

$\cup AC = 360° - 76° = 284°$

Теперь найдем углы треугольника. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

• Угол при основании $\angle BAC$ опирается на дугу $BC$:
  $\angle BAC = \frac{1}{2} \cup BC = \frac{38°}{2} = 19°$
• Угол при основании $\angle BCA$ опирается на дугу $AB$:
  $\angle BCA = \frac{1}{2} \cup AB = \frac{38°}{2} = 19°$
• Угол при вершине $\angle ABC$ опирается на дугу $AC$:
  $\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC = \frac{284°}{2} = 142°$

Проверим сумму углов: $19° + 19° + 142° = 180°$.

Таким образом, углы треугольника равны $19°$, $19°$ и $142°$.

2. Пусть боковые стороны — это $AB$ и $AC$, а основание — $BC$.

В этом случае $AB = AC$. Углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB$.
Так как хорды $AB$ и $AC$ равны, то равны и дуги, которые они стягивают: $\cup AB = \cup AC$.По условию, дуга, стягиваемая боковой стороной, равна $38°$.

$\cup AB = \cup AC = 38°$

Третья дуга $\cup BC$ равна:

$\cup BC = 360° - (\cup AB + \cup AC) = 360° - (38° + 38°) = 360° - 76° = 284°$

Найдем углы треугольника:

• Угол при основании $\angle ABC$ опирается на дугу $AC$:
  $\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC = \frac{38°}{2} = 19°$
• Угол при основании $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$:
  $\angle ACB = \frac{1}{2} \cup AB = \frac{38°}{2} = 19°$
• Угол при вершине $\angle BAC$ опирается на дугу $BC$:
  $\angle BAC = \frac{1}{2} \cup BC = \frac{284°}{2} = 142°$

В обоих случаях мы получаем один и тот же набор углов.

Ответ: Углы равнобедренного треугольника равны $19°$, $19°$ и $142°$.