Номер 90, страница 46 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

90. Точка $O$ — центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника $DEF$ ($DF = EF$). Найдите углы треугольника $DEF$, если $\angle DOE = 116^\circ$. Сколько решений имеет задача?

90. Точка $O$ — центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника $DEF$ ($DF = EF$). Найдите углы треугольника $DEF$, если $\angle DOE = 116^\circ$. Сколько решений имеет задача?

По условию задачи, $O$ — центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника $DEF$, в котором $DF = EF$. Это означает, что $DE$ является основанием треугольника, а углы при основании равны: $\angle EDF = \angle DEF$.

Угол $\angle DOE$ является центральным углом, опирающимся на дугу $DE$. Его величина составляет $116^\circ$. Угол $\angle DFE$ — это вписанный угол, который также опирается на дугу $DE$. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

В зависимости от того, на какую дугу (меньшую или большую) опирается угол $\angle DFE$, задача имеет два возможных решения. Это определяется положением центра окружности $O$ относительно треугольника $DEF$.

Случай 1. Треугольник $DEF$ — остроугольный.

В этом случае центр описанной окружности $O$ лежит внутри треугольника. Угол $\angle DFE$ опирается на меньшую дугу $DE$, градусная мера которой равна величине центрального угла $\angle DOE$.

$\angle DFE = \frac{1}{2} \smile DE = \frac{1}{2} \angle DOE = \frac{116^\circ}{2} = 58^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Так как $\angle EDF = \angle DEF$, находим эти углы:

$\angle EDF = \angle DEF = \frac{180^\circ - \angle DFE}{2} = \frac{180^\circ - 58^\circ}{2} = \frac{122^\circ}{2} = 61^\circ$.

Таким образом, в первом случае углы треугольника равны $61^\circ, 61^\circ$ и $58^\circ$.

Случай 2. Треугольник $DEF$ — тупоугольный.

В этом случае центр описанной окружности $O$ лежит вне треугольника. Угол $\angle DFE$ является тупым и опирается на большую дугу $DE$. Градусная мера меньшей дуги $DE$ равна $116^\circ$, следовательно, градусная мера большей дуги $DE$ равна:

$360^\circ - 116^\circ = 244^\circ$.

Находим величину вписанного угла $\angle DFE$:

$\angle DFE = \frac{1}{2} \cdot 244^\circ = 122^\circ$.

Теперь находим углы при основании $DE$:

$\angle EDF = \angle DEF = \frac{180^\circ - \angle DFE}{2} = \frac{180^\circ - 122^\circ}{2} = \frac{58^\circ}{2} = 29^\circ$.

Таким образом, во втором случае углы треугольника равны $29^\circ, 29^\circ$ и $122^\circ$.

Ответ: Углы треугольника $DEF$ могут быть равны $61^\circ, 61^\circ, 58^\circ$ или $29^\circ, 29^\circ, 122^\circ$.

Поскольку было найдено два различных набора углов, удовлетворяющих условиям задачи, то задача имеет два решения.

Ответ: 2.