Номер 88, страница 46 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

88. Около треугольника ABC описана окружность с центром O. Найдите углы $AOB$, $BOC$ и $AOC$, если

1) $\angle A = 48^{\circ}$, $\angle C = 63^{\circ}$;

2) $\angle A = 37^{\circ}$, $\angle C = 44^{\circ}$.

88. Около треугольника $ABC$ описана окружность с центром $O$. Найдите углы $AOB$, $BOC$ и $AOC$, если

1) $\angle A = 48^\circ, \angle C = 63^\circ$;

2) $\angle A = 37^\circ, \angle C = 44^\circ$.

Для решения задачи используется свойство вписанных и центральных углов в окружности: центральный угол, опирающийся на некоторую дугу, в два раза больше любого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанный угол $\angle A$ (или $\angle BAC$) опирается на дугу $BC$, следовательно, центральный угол $\angle BOC = 2 \cdot \angle A$.
Вписанный угол $\angle B$ (или $\angle ABC$) опирается на дугу $AC$, следовательно, центральный угол $\angle AOC = 2 \cdot \angle B$.
Вписанный угол $\angle C$ (или $\angle ACB$) опирается на дугу $AB$, следовательно, центральный угол $\angle AOB = 2 \cdot \angle C$.

1) Дано: $\angle A = 48^\circ, \angle C = 63^\circ$.

Сначала найдем величину угла $\angle B$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.
$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (48^\circ + 63^\circ) = 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ$.

Теперь найдем искомые центральные углы:

• $\angle BOC = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 48^\circ = 96^\circ$.
• $\angle AOB = 2 \cdot \angle C = 2 \cdot 63^\circ = 126^\circ$.
• $\angle AOC = 2 \cdot \angle B = 2 \cdot 69^\circ = 138^\circ$.

Проверим, что сумма центральных углов равна $360^\circ$:
$96^\circ + 126^\circ + 138^\circ = 360^\circ$.
Так как все углы треугольника $ABC$ острые, центр описанной окружности $O$ находится внутри треугольника.

Ответ: $\angle AOB = 126^\circ$, $\angle BOC = 96^\circ$, $\angle AOC = 138^\circ$.

2) Дано: $\angle A = 37^\circ, \angle C = 44^\circ$.

Сначала найдем величину угла $\angle B$ в треугольнике $ABC$.
$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (37^\circ + 44^\circ) = 180^\circ - 81^\circ = 99^\circ$.

Так как $\angle B > 90^\circ$, треугольник $ABC$ является тупоугольным. Это означает, что центр описанной окружности $O$ лежит вне треугольника.

Найдем центральные углы:

• $\angle BOC = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 37^\circ = 74^\circ$.
• $\angle AOB = 2 \cdot \angle C = 2 \cdot 44^\circ = 88^\circ$.
• Вписанный угол $\angle B = 99^\circ$ опирается на большую (основную) дугу $AC$. Соответствующий центральный угол, который также опирается на эту дугу, будет больше $180^\circ$ (рефлексный угол). Его величина равна $2 \cdot \angle B = 2 \cdot 99^\circ = 198^\circ$. Обычно под $\angle AOC$ подразумевают меньший угол ($< 180^\circ$), который опирается на меньшую дугу $AC$. Его можно найти, вычтя из полного угла $360^\circ$:
  $\angle AOC = 360^\circ - 2 \cdot \angle B = 360^\circ - 198^\circ = 162^\circ$.

Для тупоугольного треугольника с тупым углом при вершине $B$ центральный угол $\angle AOC$ равен сумме двух других центральных углов: $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$.
Проверим: $162^\circ = 88^\circ + 74^\circ$, что является верным равенством.

Ответ: $\angle AOB = 88^\circ$, $\angle BOC = 74^\circ$, $\angle AOC = 162^\circ$.