Номер 87, страница 46 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. Точки $B$, $C$ и $D$ делят окружность на три дуги так, что $\overset{\frown}{BC} : \overset{\frown}{CD} : \overset{\frown}{BD} = 3 : 4 : 5$. Найдите углы треугольника $BCD$.

87. Точки B, C и D делят окружность на три дуги так, что $\cup BC : \cup CD : \cup BD = 3 : 4 : 5$. Найдите углы треугольника BCD.

Сумма градусных мер дуг, на которые точки B, C и D делят окружность, составляет $360^\circ$. По условию, их меры относятся как $3:4:5$.

Пусть $x$ — это одна часть в данном отношении. Тогда градусные меры дуг можно выразить следующим образом:

• $◡BC = 3x$
• $◡CD = 4x$
• $◡BD = 5x$

Составим уравнение, исходя из того, что сумма всех дуг равна $360^\circ$:
$3x + 4x + 5x = 360^\circ$
$12x = 360^\circ$
$x = \frac{360^\circ}{12}$
$x = 30^\circ$

Теперь найдем градусную меру каждой дуги:

• $◡BC = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$
• $◡CD = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$
• $◡BD = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$

Углы треугольника BCD являются вписанными в окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

• Угол $∠BDC$ опирается на дугу $◡BC$. Его величина равна:
  $∠BDC = \frac{1}{2} ◡BC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$
• Угол $∠CBD$ опирается на дугу $◡CD$. Его величина равна:
  $∠CBD = \frac{1}{2} ◡CD = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$
• Угол $∠BCD$ опирается на дугу $◡BD$. Его величина равна:
  $∠BCD = \frac{1}{2} ◡BD = \frac{1}{2} \cdot 150^\circ = 75^\circ$

Проверка: сумма углов треугольника должна быть равна $180^\circ$.
$45^\circ + 60^\circ + 75^\circ = 180^\circ$.
Вычисления верны.

Ответ: $45^\circ$, $60^\circ$, $75^\circ$.