Номер 84, страница 46 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Точка A окружности и её центр O лежат по разные стороны от хорды MN. Найдите:

1) угол MAN, если $ \angle MON = 136^\circ $;

2) угол MON, если $ \angle MAN = 129^\circ $.

84. Точка A окружности и её центр O лежат по разные стороны от хорды MN. Найдите:

1) угол MAN, если $\angle MON = 136^\circ$;

2) угол MON, если $\angle MAN = 129^\circ$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами центральных и вписанных углов окружности.

Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности. Его градусная мера равна градусной мере дуги, на которую он опирается. В нашем случае это угол $\angle MON$.

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. В нашем случае это угол $\angle MAN$.

Хорда $MN$ делит окружность на две дуги: меньшую и большую. По условию, точка $A$ и центр $O$ лежат по разные стороны от хорды $MN$. Это означает, что центральный угол $\angle MON$ опирается на меньшую дугу $MN$, а вписанный угол $\angle MAN$ — на большую дугу $MN$.

Сумма градусных мер этих двух дуг составляет $360°$. Обозначим меньшую дугу как $\stackrel{\frown}{MN}_{м}$, а большую — как $\stackrel{\frown}{MN}_{б}$.Тогда:

• $m(\stackrel{\frown}{MN}_{м}) = \angle MON$
• $m(\stackrel{\frown}{MN}_{б}) = 2 \cdot \angle MAN$
• $m(\stackrel{\frown}{MN}_{м}) + m(\stackrel{\frown}{MN}_{б}) = 360°$

Из этих соотношений получаем общую формулу для решения задачи: $\angle MON + 2 \cdot \angle MAN = 360°$.

1) Найти угол $MAN$, если $\angle MON = 136°$.

Подставим известное значение $\angle MON$ в нашу формулу:
$136° + 2 \cdot \angle MAN = 360°$
$2 \cdot \angle MAN = 360° - 136°$
$2 \cdot \angle MAN = 224°$
$\angle MAN = \frac{224°}{2}$
$\angle MAN = 112°$
Ответ: $112°$.

2) Найти угол $MON$, если $\angle MAN = 129°$.

Подставим известное значение $\angle MAN$ в нашу формулу:
$\angle MON + 2 \cdot 129° = 360°$
$\angle MON + 258° = 360°$
$\angle MON = 360° - 258°$
$\angle MON = 102°$
Ответ: $102°$.