Номер 79, страница 45 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

79. Постройте трапецию по основаниям, высоте и углу между диагональю и основанием.

79. Постройте трапецию по основаниям, высоте и углу между диагональю и основанием.

Анализ

Пусть искомая трапеция — $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD = a$ и $BC = b$. Пусть высота, опущенная из вершины $C$ на основание $AD$, есть $CH$. Тогда $CH=h$. Предположим, что заданный угол $\alpha$ — это угол между диагональю $AC$ и основанием $AD$, то есть $\angle CAD = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (с прямым углом при вершине $H$, $\angle CHA = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известен катет $CH=h$ и противолежащий ему угол $\angle CAH = \alpha$. Этих данных достаточно для построения треугольника $ACH$.

После построения треугольника $ACH$ у нас будут определены вершины $A$ и $C$, а также прямая, содержащая основание $AD$ (она проходит через точки $A$ и $H$). Вершина $D$ лежит на этой прямой на расстоянии $a$ от точки $A$. Вершина $B$ лежит на прямой, проходящей через точку $C$ параллельно $AD$, на расстоянии $b$ от точки $C$. Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ACH$ и последующему достроению его до трапеции.

Построение

1. Построим прямоугольный треугольник $ACH$ по катету $h$ и противолежащему углу $\alpha$.
   1. Проведем произвольную прямую $k$.
   2. Выберем на ней произвольную точку $H$ и восставим в этой точке перпендикуляр к прямой $k$.
   3. На этом перпендикуляре отложим отрезок $HC$, равный данной высоте $h$.
   4. Найдем положение вершины $A$ на прямой $k$. Так как в прямоугольном треугольнике $ACH$ сумма острых углов равна $90^\circ$, то $\angle ACH = 90^\circ - \alpha$. Построим из точки $C$ луч, образующий с лучом $CH$ угол, равный $90^\circ - \alpha$. Точка пересечения этого луча с прямой $k$ и будет искомой вершиной $A$.
2. Теперь у нас есть вершины $A$ и $C$, а прямая $k$ содержит основание $AD$. Отложим на прямой $k$ от точки $A$ отрезок $AD$, равный данной длине основания $a$.
3. Через вершину $C$ проведем прямую $m$, параллельную прямой $k$. Эта прямая будет содержать основание $BC$.
4. На прямой $m$ от точки $C$ отложим отрезок $CB$, равный данной длине основания $b$. Точку $B$ можно отложить в любую из двух сторон от точки $C$. Выберем одно из положений.
5. Соединим последовательно точки $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ является искомой трапецией.

Доказательство

Проверим, что построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• По построению, прямая $BC$ (прямая $m$) параллельна прямой $AD$ (прямая $k$). Следовательно, $ABCD$ — трапеция.
• Длины оснований $AD = a$ и $BC = b$ по построению.
• Расстояние между параллельными прямыми $k$ и $m$ равно длине перпендикуляра $CH$, который по построению равен $h$. Следовательно, высота трапеции равна $h$.
• В прямоугольном треугольнике $ACH$ ($\angle CHA = 90^\circ$) по построению $CH=h$ и $\angle ACH = 90^\circ - \alpha$. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, то $\angle CAH = 90^\circ - \angle ACH = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$. Угол $\angle CAH$ и есть угол между диагональю $AC$ и основанием $AD$.

Таким образом, построенная трапеция $ABCD$ удовлетворяет всем условиям.

Примечание: Задача имеет решение, если заданные длины $a, b, h$ положительны, а угол $\alpha$ является острым ($0 < \alpha < 90^\circ$). Выбор стороны, в которую откладываются отрезки $AD$ и $CB$, может привести к построению различных трапеций, но все они будут удовлетворять условию.

Ответ: Алгоритм построения и его доказательство приведены выше.