Номер 76, страница 45 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. В равнобокой трапеции диагональ равна 18 см и образует с основанием угол 60°. Найдите основания трапеции, если их разность равна 10 см.

76.В равнобокой трапеции диагональ равна 18 см и образует с основанием угол $60^\circ$. Найдите основания трапеции, если их разность равна 10 см.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC – основания (AD – большее, BC – меньшее). Диагональ AC = 18 см, угол между диагональю и основанием AD (∠CAD) равен 60°. По условию, разность длин оснований составляет 10 см: $AD - BC = 10$.

Проведем из вершины C высоту CK на основание AD. Треугольник ACK является прямоугольным (∠CKA = 90°).

В прямоугольном треугольнике ACK мы можем найти длину катета AK, который является проекцией диагонали AC на основание AD. Используя тригонометрическое соотношение для косинуса угла, получаем: $AK = AC \cdot \cos(\angle CAD)$ Подставив известные значения, найдем AK: $AK = 18 \cdot \cos(60^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

По свойству равнобокой трапеции, высота, опущенная из вершины на большее основание, отсекает от него отрезок, длина которого равна полуразности оснований. Обозначим этот отрезок KD. $KD = \frac{AD - BC}{2}$ Так как по условию $AD - BC = 10$ см, то: $KD = \frac{10}{2} = 5$ см.

Большее основание AD состоит из двух отрезков: AK и KD. То есть, $AD = AK + KD$. Найдем длину основания AD: $AD = 9 + 5 = 14$ см.

Теперь, зная длину большего основания, найдем длину меньшего основания BC: $BC = AD - 10 = 14 - 10 = 4$ см.

Ответ: основания трапеции равны 4 см и 14 см.