Номер 75, страница 45 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

75. Большее основание равнобокой трапеции равно 16 см. Высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, один из которых равен 4 см. Найдите среднюю линию трапеции.

75. Большее основание равнобокой трапеции равно 16 см. Высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, один из которых равен 4 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD$ — большее основание. По условию, $AD = 16$ см.

Проведем высоту $BH$ из вершины тупого угла $B$ на основание $AD$. Эта высота делит основание $AD$ на два отрезка: $AH$ и $HD$. Сумма длин этих отрезков равна длине основания $AD$:

$AD = AH + HD$

По условию, один из этих отрезков равен 4 см. Найдем длину второго отрезка:

$16 \text{ см} - 4 \text{ см} = 12 \text{ см}$

Таким образом, высота делит большее основание на отрезки длиной 4 см и 12 см.

В равнобокой трапеции отрезки, на которые высота из вершины тупого угла делит большее основание, имеют определенные свойства. Если провести вторую высоту $CK$ из вершины $C$, то $AH = KD$ и прямоугольник $HBCK$ имеет сторону $HK = BC$.

Меньший из отрезков, $AH$, вычисляется по формуле:

$AH = \frac{AD - BC}{2}$

Больший из отрезков, $HD$, вычисляется по формуле:

$HD = HK + KD = BC + AH = BC + \frac{AD - BC}{2} = \frac{2BC + AD - BC}{2} = \frac{AD + BC}{2}$

Поскольку длина меньшего основания $BC$ всегда положительна, то $HD > AH$. Следовательно, меньший отрезок $AH = 4$ см, а больший отрезок $HD = 12$ см.

Средняя линия трапеции ($m$) по определению равна полусумме ее оснований:

$m = \frac{AD + BC}{2}$

Как мы видим из выведенной выше формулы, длина большего отрезка $HD$ равна полусумме оснований. Таким образом, длина средней линии трапеции равна длине большего отрезка, на которые высота делит большее основание.

$m = HD = 12$ см

Ответ: 12 см