Номер 86, страница 46 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Около треугольника $DEF$ описана окружность с центром $O$. Найдите угол $DOF$, если:

1) $\angle E = 38^\circ$;

2) $\angle E = 148^\circ$.

86. Около треугольника $DEF$ описана окружность с центром $O$. Найдите угол $DOF$, если:

1) $\angle E = 38^{\circ}$;

2) $\angle E = 148^{\circ}$.

Угол $ \angle E $ (или $ \angle DEF $) — это вписанный в окружность угол, а $ \angle DOF $ — соответствующий ему центральный угол, так как они опираются на одну и ту же дугу $ DF $. Связь между вписанным и центральным углами, опирающимися на одну дугу, зависит от того, является ли вписанный угол острым или тупым.

Вписанный угол $ \angle E $ является острым ($ 38^{\circ} < 90^{\circ} $). В этом случае величина центрального угла, опирающегося на ту же дугу, в два раза больше величины вписанного угла.

Формула: $ \angle DOF = 2 \cdot \angle E $.

Подставляем данное значение:

$ \angle DOF = 2 \cdot 38^{\circ} = 76^{\circ} $.

Ответ: $ 76^{\circ} $

Вписанный угол $ \angle E $ является тупым ($ 148^{\circ} > 90^{\circ} $). Это означает, что он опирается на большую дугу окружности (дугу, градусная мера которой больше $ 180^{\circ} $). Искомый центральный угол $ \angle DOF $ (по умолчанию имеется в виду угол, меньший $ 180^{\circ} $) опирается на меньшую дугу $ DF $.

Сумма вписанного угла, опирающегося на меньшую дугу, и вписанного угла, опирающегося на большую дугу, равна $ 180^{\circ} $. Пусть угол, опирающийся на меньшую дугу $ DF $, будет $ \angle E' $. Тогда:

$ \angle E' = 180^{\circ} - \angle E = 180^{\circ} - 148^{\circ} = 32^{\circ} $.

Теперь мы можем найти центральный угол $ \angle DOF $, который опирается на ту же (меньшую) дугу, что и угол $ \angle E' $:

$ \angle DOF = 2 \cdot \angle E' = 2 \cdot 32^{\circ} = 64^{\circ} $.

Другой способ рассуждения: тупой вписанный угол $ \angle E = 148^{\circ} $ опирается на дугу, градусная мера которой равна $ 2 \cdot 148^{\circ} = 296^{\circ} $. Это большая дуга $ DF $. Центральный угол $ \angle DOF $ опирается на меньшую дугу $ DF $. Её градусная мера равна:

$ 360^{\circ} - 296^{\circ} = 64^{\circ} $.

Величина центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается, следовательно, $ \angle DOF = 64^{\circ} $.

Ответ: $ 64^{\circ} $