Номер 97, страница 47 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

97. Прямые $BF$ и $CM$ касаются окружности, описанной около треугольника $ABC$, в точках $B$ и $C$ соответственно (рис. 56). Найдите углы треугольника $ABC$, если $\angle ABF = 74^\circ$, $\angle ACM = 41^\circ$.

Рис. 56

97. Прямые $BF$ и $CM$ касаются окружности, описанной около треугольника $ABC$, в точках $B$ и $C$ соответственно (рис. 56). Найдите углы треугольника $ABC$, если $\angle ABF = 74^\circ$, $\angle ACM = 41^\circ$.

Рис. 56

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой об угле между касательной и хордой. Эта теорема гласит, что угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, равен вписанному углу, который опирается на дугу, заключенную между касательной и хордой.

Нахождение угла BCA

Рассмотрим касательную $BF$ и хорду $AB$. Угол между ними, $\angle ABF$, равен вписанному углу, который опирается на дугу $AB$, то есть углу $\angle BCA$.
По условию $\angle ABF = 74^{\circ}$.
Следовательно, $\angle BCA = \angle ABF = 74^{\circ}$.

Нахождение угла ABC

Теперь рассмотрим касательную $CM$ и хорду $AC$. Угол между ними, $\angle ACM$, равен вписанному углу, который опирается на дугу $AC$, то есть углу $\angle ABC$.
По условию $\angle ACM = 41^{\circ}$.
Следовательно, $\angle ABC = \angle ACM = 41^{\circ}$.

Нахождение угла BAC

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Для треугольника $ABC$ мы знаем два угла, поэтому можем найти третий:
$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ}$
Подставим найденные значения:
$\angle BAC + 41^{\circ} + 74^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC + 115^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC = 180^{\circ} - 115^{\circ}$
$\angle BAC = 65^{\circ}$

Ответ: Углы треугольника $ABC$ равны: $\angle A = 65^{\circ}$, $\angle B = 41^{\circ}$, $\angle C = 74^{\circ}$.