Номер 98, страница 47 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

98. Через точку D окружности проведена касательная DM, не параллельная диаметру EF (рис. 57). Найдите углы треугольника DEF, если $ \angle MDF = 140^\circ $.

Рис. 57

98. Через точку $D$ окружности проведена касательная $DM$, не параллельная диаметру $EF$ (рис. 57). Найдите углы треугольника $DEF$, если $\angle MDF = 140^\circ$.

Рис. 57

Нахождение угла $ \angle DEF $
Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине градусной меры дуги, заключенной между ними. Поскольку угол $ \angle MDF = 140° $ является тупым, он измеряется половиной большей дуги $DF$.
Градусная мера большей дуги $DF$ равна $ 2 \cdot 140° = 280° $.
Вся окружность составляет $360°$, значит, градусная мера меньшей дуги $DF$ равна $ 360° - 280° = 80° $.
Вписанный угол $ \angle DEF $ опирается на меньшую дугу $DF$ и равен ее половине.
$ \angle DEF = \frac{1}{2} \cdot 80° = 40° $.
Ответ: $ \angle DEF = 40° $.

Нахождение угла $ \angle EDF $
По условию задачи, отрезок $EF$ является диаметром окружности. Вписанный угол, который опирается на диаметр, является прямым.
Угол $ \angle EDF $ в треугольнике $DEF$ опирается на диаметр $EF$.
Следовательно, $ \angle EDF = 90° $.
Ответ: $ \angle EDF = 90° $.

Нахождение угла $ \angle DFE $
Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Для треугольника $DEF$ мы уже нашли два угла: $ \angle DEF = 40° $ и $ \angle EDF = 90° $.
Третий угол $ \angle DFE $ находим из соотношения:
$ \angle DFE = 180° - (\angle DEF + \angle EDF) $
$ \angle DFE = 180° - (40° + 90°) = 180° - 130° = 50° $.
Ответ: $ \angle DFE = 50° $.