Номер 103, страница 48 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $B$ на $14^\circ$ меньше угла $C$ и в 5 раз меньше угла $D$. Найдите углы четырёхугольника.

103. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $B$ на $14^\circ$ меньше угла $C$ и в 5 раз меньше угла $D$. Найдите углы четырёхугольника.

Пусть $ \angle B = x $.

Согласно условию задачи, угол $B$ на $14^\circ$ меньше угла $C$, следовательно, $ \angle C = \angle B + 14^\circ = x + 14^\circ $.

Также по условию, угол $B$ в 5 раз меньше угла $D$, следовательно, $ \angle D = 5 \cdot \angle B = 5x $.

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом, мы имеем два равенства:
$ \angle A + \angle C = 180^\circ $
$ \angle B + \angle D = 180^\circ $

Используем второе равенство ($ \angle B + \angle D = 180^\circ $) и подставим в него выражения для углов $B$ и $D$ через $x$:
$ x + 5x = 180^\circ $
$ 6x = 180^\circ $
$ x = \frac{180^\circ}{6} $
$ x = 30^\circ $

Итак, мы нашли величину угла $B$: $ \angle B = 30^\circ $.

Теперь, зная $x$, можем найти величины остальных углов:
$ \angle D = 5x = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ $
$ \angle C = x + 14^\circ = 30^\circ + 14^\circ = 44^\circ $

Используя первое равенство ($ \angle A + \angle C = 180^\circ $), найдём угол $A$:
$ \angle A + 44^\circ = 180^\circ $
$ \angle A = 180^\circ - 44^\circ $
$ \angle A = 136^\circ $

Проверим правильность найденных углов. Сумма противоположных углов $ \angle A + \angle C = 136^\circ + 44^\circ = 180^\circ $ и $ \angle B + \angle D = 30^\circ + 150^\circ = 180^\circ $. Условия задачи выполнены.

Ответ: $ \angle A = 136^\circ $, $ \angle B = 30^\circ $, $ \angle C = 44^\circ $, $ \angle D = 150^\circ $.