Номер 104, страница 48 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

104. В четырёхугольнике ABCD $ \angle BAD = 74^\circ $, $ \angle BCD = 106^\circ $, $ \angle ABD = 47^\circ $, $ \angle CBD = 58^\circ $. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника, противоположащий стороне BC.

104. В четырёхугольнике ABCD $\angle BAD = 74^\circ$, $\angle BCD = 106^\circ$, $\angle ABD = 47^\circ$, $\angle CBD = 58^\circ$. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника, противолежащий стороне BC.

Пусть диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Угол между диагоналями, который противолежит стороне BC, — это угол ∠BOC.

Сначала проверим, является ли данный четырёхугольник вписанным в окружность. Для этого найдём сумму его противоположных углов $∠BAD$ и $∠BCD$:

$∠BAD + ∠BCD = 74° + 106° = 180°$

Поскольку сумма противоположных углов четырёхугольника равна $180°$, то он является вписанным в окружность. Это свойство позволяет нам использовать равенство вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу.

Рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180°$. Зная два угла ($∠BAD = 74°$ и $∠ABD = 47°$), мы можем найти третий угол, $∠BDA$:

$∠BDA = 180° - (∠BAD + ∠ABD) = 180° - (74° + 47°) = 180° - 121° = 59°$

Углы $∠BCA$ и $∠BDA$ являются вписанными углами, которые опираются на одну и ту же дугу AB. Следовательно, эти углы равны:

$∠BCA = ∠BDA = 59°$

Теперь рассмотрим треугольник BOC. Для нахождения искомого угла $∠BOC$ нам нужно знать два других угла этого треугольника: $∠OBC$ и $∠OCB$.

• $∠OBC$ — это то же самое, что и данный в условии угол $∠CBD = 58°$.
• $∠OCB$ — это то же самое, что и найденный нами угол $∠BCA = 59°$.

Найдём угол $∠BOC$ из суммы углов треугольника BOC:

$∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - (58° + 59°) = 180° - 117° = 63°$

Ответ: 63°.