Номер 102, страница 48 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

102. Один из углов трапеции, вписанной в окружность, равен $114^\circ$. Найдите остальные углы трапеции.

102. Один из углов трапеции, вписанной в окружность, равен $114^\circ$. Найдите остальные углы трапеции.

Для решения этой задачи необходимо использовать два ключевых свойства трапеции, вписанной в окружность.

1. Трапеция, которую можно вписать в окружность, является равнобедренной.
У равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Пусть у нас есть трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Тогда $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$.

2. Сумма противолежащих углов любого четырехугольника, вписанного в окружность, равна $180^\circ$.
Для нашей трапеции это означает, что $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$.

Решение

По условию нам дан один из углов, равный $114^\circ$. Этот угол тупой. В равнобедренной трапеции (которая не является прямоугольником) есть два равных тупых угла и два равных острых угла.

Пусть $\angle B = 114^\circ$.
По свойству равнобедренной трапеции, второй угол при том же основании, $\angle C$, будет равен $\angle B$.
$\angle C = 114^\circ$.

Теперь найдем два других угла, $\angle A$ и $\angle D$. Воспользуемся свойством вписанного четырехугольника: сумма противолежащих углов равна $180^\circ$.
Найдем угол $\angle A$, противолежащий углу $\angle C$:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$
$\angle A = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$.

Угол $\angle D$ равен углу $\angle A$, так как это углы при другом основании равнобедренной трапеции.
$\angle D = \angle A = 66^\circ$.

Таким образом, мы нашли все углы трапеции: два угла по $114^\circ$ и два угла по $66^\circ$. Один угол $114^\circ$ был дан в условии, значит, остальные три угла — это $114^\circ$, $66^\circ$ и $66^\circ$.

Ответ: Остальные углы трапеции равны $114^\circ$, $66^\circ$ и $66^\circ$.