Номер 106, страница 48 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой лежит на большем основании. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен 44°. Найдите углы трапеции.

106. Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой лежит на большем основании. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен $44^\circ$. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, вписанная в окружность, с большим основанием $AD$ и меньшим основанием $BC$. По условию, центр окружности $O$ лежит на основании $AD$, следовательно, $AD$ является диаметром описанной окружности.

Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$. Угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне (например, стороне $CD$), равен $44^\circ$. Это означает, что $\angle CKD = 44^\circ$.

Поскольку $AD$ — диаметр окружности, любой вписанный угол, опирающийся на него, равен $90^\circ$. Таким образом, треугольники $ABD$ и $ACD$ являются прямоугольными: $\angle ABD = 90^\circ$ и $\angle ACD = 90^\circ$.

В равнобокой трапеции, вписанной в окружность, боковые стороны равны ($AB = CD$), а значит, равны и дуги, которые они стягивают (дуга $AB$ = дуга $CD$). Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, также равны. Угол $\angle ADB$ опирается на дугу $AB$, а угол $\angle CAD$ — на дугу $CD$. Следовательно, $\angle ADB = \angle CAD$. Обозначим величину этих углов через $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $AKD$. Углы при его основании $AD$ равны: $\angle KAD = \alpha$ и $\angle KDA = \alpha$. Угол $\angle AKD$ является смежным с углом $\angle CKD$, поэтому их сумма составляет $180^\circ$.

$\angle AKD = 180^\circ - \angle CKD = 180^\circ - 44^\circ = 136^\circ$.

Применим теорему о сумме углов для треугольника $AKD$:

$\angle KAD + \angle KDA + \angle AKD = 180^\circ$
$\alpha + \alpha + 136^\circ = 180^\circ$
$2\alpha = 180^\circ - 136^\circ$
$2\alpha = 44^\circ$
$\alpha = 22^\circ$

Таким образом, мы нашли, что $\angle ADB = 22^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ (с прямым углом $\angle ABD = 90^\circ$). Сумма его острых углов равна $90^\circ$:

$\angle DAB + \angle ADB = 90^\circ$
$\angle DAB + 22^\circ = 90^\circ$
$\angle DAB = 90^\circ - 22^\circ = 68^\circ$

Это угол трапеции при большем основании. Так как трапеция равнобокая, второй угол при большем основании $\angle CDA = \angle DAB = 68^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Следовательно, углы при меньшем основании равны:

$\angle ABC = \angle BCD = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$.

Ответ: углы трапеции равны $68^\circ, 112^\circ, 112^\circ, 68^\circ$.