Номер 111, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, один из которых равен 12 см. Найдите основания трапеции, если её периметр равен 64 см.

111. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, один из которых равен 12 см. Найдите основания трапеции, если её периметр равен 64 см.

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую вписана окружность. Обозначим её основания как $a$ и $b$, а боковую сторону как $c$.

Основное свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность, заключается в том, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для равнобокой трапеции это свойство выглядит так:

$a + b = c + c = 2c$

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех её сторон:

$P = a + b + c + c = (a+b) + 2c$

Так как $a + b = 2c$, мы можем записать периметр как $P = 2c + 2c = 4c$.

По условию, периметр трапеции равен 64 см. Найдем длину боковой стороны:

$4c = 64$ см

$c = \frac{64}{4} = 16$ см

Таким образом, длина каждой боковой стороны равна 16 см.

Теперь найдем сумму оснований:

$a + b = 2c = 2 \cdot 16 = 32$ см

По условию, точка касания вписанной окружности делит боковую сторону на два отрезка, один из которых равен 12 см. Поскольку вся боковая сторона равна 16 см, то второй отрезок будет равен $16 - 12 = 4$ см. Итак, боковая сторона делится на отрезки длиной 12 см и 4 см.

Рассмотрим свойство касательных, проведенных из вершин трапеции к вписанной окружности. Отрезки касательных, проведенных из одной вершины, равны. В равнобокой трапеции, в силу её симметрии, отрезки, на которые точка касания делит боковую сторону, равны половинам оснований. То есть, один отрезок равен половине одного основания, а другой отрезок — половине другого основания.

Пусть отрезки равны $x$ и $y$, тогда $c = x+y$. Основания трапеции будут равны $a=2x$ и $b=2y$.

В нашем случае отрезки равны 12 см и 4 см. Значит, одно основание равно:

$a = 2 \cdot 12 = 24$ см

А второе основание равно:

$b = 2 \cdot 4 = 8$ см

Проверим, выполняется ли условие $a+b=32$ см:

$24 + 8 = 32$ см

Условие выполняется. Основания трапеции равны 24 см и 8 см.

Ответ: 8 см и 24 см.