Страница 49 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

109. Боковые стороны трапеции, в которую можно вписать окружность, равны 5 см и 11 см. Найдите периметр трапеции.

109. Боковые стороны трапеции, в которую можно вписать окружность, равны 5 см и 11 см. Найдите периметр трапеции.

Пусть $a$ и $b$ — основания трапеции, а $c$ и $d$ — ее боковые стороны. По условию задачи даны длины боковых сторон: $c = 5$ см и $d = 11$ см.

Для того чтобы в трапецию можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма длин ее оснований была равна сумме длин боковых сторон. Это свойство любого описанного четырехугольника. Математически это выражается формулой:

$a + b = c + d$

Найдем сумму длин боковых сторон:

$c + d = 5 + 11 = 16$ см

Следовательно, сумма длин оснований также равна 16 см:

$a + b = 16$ см

Периметр трапеции ($P$) — это сумма длин всех ее сторон:

$P = a + b + c + d$

Так как мы знаем, что $(a + b) = 16$ и $(c + d) = 16$, мы можем подставить эти значения в формулу периметра:

$P = 16 + 16 = 32$ см

Ответ: 32 см.

110. Средняя линия трапеции равна 16 см, а периметр — 64 см. Докажите, что в данную трапецию можно вписать окружность.

110. Средняя линия трапеции равна 16 см, а периметр – 64 см. Докажите, что в данную трапецию можно вписать окружность.

Для того чтобы в трапецию можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма длин её оснований была равна сумме длин её боковых сторон. Докажем, что для данной трапеции это условие выполняется.

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковые стороны — $c$ и $d$. Нам нужно доказать, что $a + b = c + d$.

1. Найдем сумму оснований ($a+b$), используя формулу для средней линии трапеции ($m$):
$m = \frac{a+b}{2}$
По условию задачи, средняя линия $m = 16$ см. Подставим это значение в формулу:
$16 = \frac{a+b}{2}$
Отсюда находим сумму оснований:
$a+b = 16 \cdot 2 = 32$ см.

2. Найдем сумму боковых сторон ($c+d$), используя формулу периметра ($P$):
$P = a + b + c + d$
По условию, периметр $P = 64$ см. Мы уже вычислили, что сумма оснований $a+b = 32$ см. Подставим эти значения в формулу периметра:
$64 = 32 + (c+d)$
Отсюда находим сумму боковых сторон:
$c+d = 64 - 32 = 32$ см.

3. Сравним полученные суммы:
Сумма оснований $a+b = 32$ см.
Сумма боковых сторон $c+d = 32$ см.
Таким образом, мы видим, что $a+b = c+d$.

Поскольку сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон, то в данную трапецию можно вписать окружность. Что и требовалось доказать.

Ответ: В данную трапецию можно вписать окружность, так как сумма её оснований ($32$ см) равна сумме её боковых сторон ($32$ см).

111. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, один из которых равен 12 см. Найдите основания трапеции, если её периметр равен 64 см.

111. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, один из которых равен 12 см. Найдите основания трапеции, если её периметр равен 64 см.

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую вписана окружность. Обозначим её основания как $a$ и $b$, а боковую сторону как $c$.

Основное свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность, заключается в том, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для равнобокой трапеции это свойство выглядит так:

$a + b = c + c = 2c$

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех её сторон:

$P = a + b + c + c = (a+b) + 2c$

Так как $a + b = 2c$, мы можем записать периметр как $P = 2c + 2c = 4c$.

По условию, периметр трапеции равен 64 см. Найдем длину боковой стороны:

$4c = 64$ см

$c = \frac{64}{4} = 16$ см

Таким образом, длина каждой боковой стороны равна 16 см.

Теперь найдем сумму оснований:

$a + b = 2c = 2 \cdot 16 = 32$ см

По условию, точка касания вписанной окружности делит боковую сторону на два отрезка, один из которых равен 12 см. Поскольку вся боковая сторона равна 16 см, то второй отрезок будет равен $16 - 12 = 4$ см. Итак, боковая сторона делится на отрезки длиной 12 см и 4 см.

Рассмотрим свойство касательных, проведенных из вершин трапеции к вписанной окружности. Отрезки касательных, проведенных из одной вершины, равны. В равнобокой трапеции, в силу её симметрии, отрезки, на которые точка касания делит боковую сторону, равны половинам оснований. То есть, один отрезок равен половине одного основания, а другой отрезок — половине другого основания.

Пусть отрезки равны $x$ и $y$, тогда $c = x+y$. Основания трапеции будут равны $a=2x$ и $b=2y$.

В нашем случае отрезки равны 12 см и 4 см. Значит, одно основание равно:

$a = 2 \cdot 12 = 24$ см

А второе основание равно:

$b = 2 \cdot 4 = 8$ см

Проверим, выполняется ли условие $a+b=32$ см:

$24 + 8 = 32$ см

Условие выполняется. Основания трапеции равны 24 см и 8 см.

Ответ: 8 см и 24 см.

112. Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 8 см, а средняя линия этой трапеции равна 18 см. Найдите большую боковую сторону трапеции.

112. Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 8 см, а средняя линия этой трапеции равна 18 см. Найдите большую боковую сторону трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция. Одна из ее боковых сторон перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции ($h$), а также ее меньшей боковой стороной. Обозначим эту сторону как $c_1$. Другая боковая сторона, наклонная, является большей боковой стороной. Обозначим ее как $c_2$.

Поскольку в трапецию можно вписать окружность, ее высота равна диаметру вписанной окружности. Радиус окружности по условию $r = 8$ см. Тогда диаметр $D = 2r = 2 \cdot 8 = 16$ см. Следовательно, высота трапеции и ее меньшая боковая сторона равны 16 см: $h = c_1 = 16$ см.

Средняя линия трапеции ($m$) вычисляется как полусумма ее оснований ($a$ и $b$): $m = \frac{a + b}{2}$ Из условия известно, что $m = 18$ см. Отсюда мы можем найти сумму оснований: $a + b = 2 \cdot m = 2 \cdot 18 = 36$ см.

Основное свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность, заключается в том, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон: $a + b = c_1 + c_2$

Теперь мы можем подставить известные значения в это равенство, чтобы найти большую боковую сторону $c_2$: $36 = 16 + c_2$ $c_2 = 36 - 16 = 20$ см.

Ответ: 20 см.

113. Начертите произвольный отрезок $AB$ и постройте на нём точку $C$ такую, что $AC : CB = 3 : 4$.

113. Начертите произвольный отрезок $AB$ и постройте на нём точку $C$ такую, что $AC : CB = 3 : 4$.

Для того чтобы разделить произвольный отрезок $AB$ точкой $C$ в отношении $AC : CB = 3 : 4$, необходимо выполнить следующие шаги построения с помощью циркуля и линейки без делений. Этот метод основан на теореме Фалеса.

План построения

1. Начертить произвольный отрезок $AB$.
2. Из точки $A$ провести луч $AD$, не совпадающий с лучом $AB$, под произвольным острым углом к отрезку $AB$.
3. На луче $AD$, начиная от точки $A$, отложить с помощью циркуля семь ($3 + 4 = 7$) равных отрезков произвольной длины. Обозначим точки деления $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7$. Таким образом, $AA_1 = A_1A_2 = \dots = A_6A_7$.
4. Соединить точку $A_7$ (последнюю точку на луче) с точкой $B$.
5. Через точку $A_3$ (третью точку на луче, так как первая часть отношения равна 3) провести прямую, параллельную отрезку $A_7B$. Детальное построение параллельной прямой описано ниже.
6. Точка пересечения этой прямой с отрезком $AB$ будет искомой точкой $C$.

Построение параллельной прямой (детализация шага 5)

Для построения прямой, проходящей через $A_3$ и параллельной $A_7B$, необходимо скопировать угол $\angle AA_7B$ в вершину $A_3$:

1. Установить ножку циркуля в точку $A_7$ и провести дугу произвольного радиуса так, чтобы она пересекла стороны угла $\angle BA_7A$ в двух точках (на луче $A_7A$ и на отрезке $A_7B$).
2. Не меняя раствор циркуля, установить его ножку в точку $A_3$ и провести такую же дугу, которая пересечет луч $AD$.
3. Измерить циркулем расстояние между точками пересечения первой дуги со сторонами угла $\angle BA_7A$.
4. С этим раствором циркуля установить ножку в точку пересечения второй дуги с лучом $AD$ и провести еще одну дугу так, чтобы она пересеклась со второй дугой.
5. Провести прямую через точку $A_3$ и точку пересечения дуг, полученную в предыдущем шаге. Эта прямая будет параллельна прямой $A_7B$. Точка, где она пересекает $AB$, и есть искомая точка $C$.

Обоснование построения

Рассмотрим угол $\angle DAB$. Прямые $A_3C$ и $A_7B$ параллельны по построению и пересекают стороны этого угла. Согласно обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Следовательно:

$\frac{AC}{CB} = \frac{AA_3}{A_3A_7}$

По построению, отрезок $AA_3$ состоит из 3 равных частей, а отрезок $A_3A_7$ — из 4 таких же частей. Поэтому:

$\frac{AA_3}{A_3A_7} = \frac{3}{4}$

Отсюда следует, что $\frac{AC}{CB} = \frac{3}{4}$, или $AC : CB = 3 : 4$, что и требовалось.

Иллюстрация принципа построения:

Примечание: на рисунке показано деление отрезка в отношении 3:2. В нашей задаче необходимо отложить 7 равных отрезков на вспомогательном луче и провести параллельную прямую через третью точку $A_3$.

Ответ: Точка $C$, построенная согласно приведенному алгоритму, является искомой точкой, так как она лежит на отрезке $AB$ и делит его в отношении $AC : CB = 3 : 4$.

114. Параллельные прямые $m$ и $n$ пересекают стороны угла $ABC$ (рис. 59). Найдите отрезок $MN$, если $BE = 4$ см, $EF = 12$ см, $BM = 5$ см.

Рис. 59

114. Параллельные прямые $m$ и $n$ пересекают стороны угла $ABC$ (рис. 59). Найдите отрезок $MN$, если $BE = 4$ см, $EF = 12$ см, $BM = 5$ см.

Рис. 59

Согласно условию задачи, прямые $m$ и $n$ параллельны. Эти прямые пересекают стороны угла $ABC$. По обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, отсекаемые на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, отсекаемым на другой стороне угла.

В данном случае это означает, что отношение отрезков на стороне $BA$ равно отношению соответствующих отрезков на стороне $BC$:

$\frac{BE}{EF} = \frac{BM}{MN}$

Нам даны следующие значения:

• $BE = 4$ см
• $EF = 12$ см
• $BM = 5$ см

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{4}{12} = \frac{5}{MN}$

Сократим дробь в левой части уравнения:

$\frac{1}{3} = \frac{5}{MN}$

Теперь, чтобы найти $MN$, решим эту пропорцию:

$1 \cdot MN = 3 \cdot 5$

$MN = 15$

Таким образом, длина отрезка $MN$ составляет 15 см.

Ответ: 15 см.

115. Параллельные прямые $a, b, c$ пересекают стороны угла $MNP$ (рис. 60). Найдите отрезки $BE$ и $CF$, если $AN = 2$ см, $NC = 3$ см, $DF = 9$ см, $AB = 4$ см.

Рис. 60

115. Параллельные прямые $a$, $b$ и $c$ пересекают стороны угла $MNP$ (рис. 60). Найдите отрезки $BE$ и $CF$, если $AN = 2$ см, $NC = 3$ см, $DF = 9$ см, $AB = 4$ см.

Рис. 60

Для решения задачи используется теорема о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса). Согласно этой теореме, если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, отсекаемые на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, отсекаемым на другой стороне угла.

По условию, прямые $a, b, c$ параллельны ($a \parallel b \parallel c$) и пересекают стороны угла $MNP$. Следовательно, справедливо соотношение пропорциональности для отрезков на сторонах $NM$ и $NP$: $ AN : AB : BE = NC : CD : DF $

Из этой пропорции можно составить несколько равенств. Для начала найдем длину неизвестного отрезка $CD$. Для этого воспользуемся равенством отношений первой и второй пар отрезков: $ \frac{AN}{NC} = \frac{AB}{CD} $

Подставим известные значения: $AN = 2$ см, $NC = 3$ см, $AB = 4$ см. $ \frac{2}{3} = \frac{4}{CD} $

Решим уравнение относительно $CD$: $ 2 \cdot CD = 3 \cdot 4 $ $ CD = \frac{12}{2} = 6 $ см.

Найти BE

Теперь, зная длину отрезка $CD$, мы можем найти $BE$. Воспользуемся равенством отношений второй и третьей пар отрезков из общей пропорции: $ \frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DF} $

Подставим известные и найденный ранее значения: $AB = 4$ см, $CD = 6$ см, $DF = 9$ см. $ \frac{4}{6} = \frac{BE}{9} $

Упростим дробь в левой части: $ \frac{2}{3} = \frac{BE}{9} $

Решим уравнение относительно $BE$: $ 3 \cdot BE = 2 \cdot 9 $ $ BE = \frac{18}{3} = 6 $ см.

Ответ: $BE = 6$ см.

Найти CF

Отрезок $CF$ состоит из двух смежных отрезков $CD$ и $DF$. Его длина равна сумме их длин: $ CF = CD + DF $

Мы уже вычислили, что $CD = 6$ см, а по условию $DF = 9$ см. $ CF = 6 + 9 = 15 $ см.

Ответ: $CF = 15$ см.