Страница 55 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

154. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, изображённые на рисунке 69, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 69

$AB = 12$

$AC = 9$

$\angle A = 72^\circ$

$A_1B_1 = 8$

$A_1C_1 = 6$

$\angle A_1 = 72^\circ$

154. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, изображённые на рисунке 69, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 69

Треугольник $ABC$: $AB = 12$, $AC = 9$, $\angle A = 72^\circ$.

Треугольник $A_1B_1C_1$: $A_1B_1 = 8$, $A_1C_1 = 6$, $\angle A_1 = 72^\circ$.

Для доказательства подобия треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ воспользуемся вторым признаком подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Согласно этому признаку, два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны.

Из рисунка нам известны следующие данные:

Для треугольника $ABC$: стороны $AB = 12$ см, $AC = 9$ см, и угол между ними $\angle A = 72^\circ$.

Для треугольника $A_1B_1C_1$: стороны $A_1B_1 = 8$ см, $A_1C_1 = 6$ см, и угол между ними $\angle A_1 = 72^\circ$.

1. Сравнение углов.

Сравним углы, заключённые между указанными сторонами: $\angle A = 72^\circ$ и $\angle A_1 = 72^\circ$.
Следовательно, $\angle A = \angle A_1$.

2. Проверка пропорциональности сторон.

Проверим, пропорциональны ли стороны, образующие эти равные углы. Для этого найдём отношения длин соответственных сторон:

Отношение сторон $AB$ и $A_1B_1$:
$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Отношение сторон $AC$ и $A_1C_1$:
$\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

Так как $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{3}{2}$, то стороны пропорциональны.

Поскольку угол $\angle A$ в треугольнике $ABC$ равен углу $\angle A_1$ в треугольнике $A_1B_1C_1$, и стороны, прилежащие к этим углам, пропорциональны, то треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны по второму признаку подобия.

Ответ: Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, так как у них есть по равному углу ($\angle A = \angle A_1 = 72^\circ$), а стороны, образующие эти углы, пропорциональны ($\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{3}{2}$), что соответствует второму признаку подобия треугольников. Что и требовалось доказать.

155. В треугольниках $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$ $BC : A_1 C_1 = AC : B_1 C_1 = 1,5$, $ \angle C = \angle C_1 $. Найдите стороны $AB$ и $A_1 B_1$, если их разность равна 3 см.

155. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ $BC : A_1C_1 = AC : B_1C_1 = 1,5$, $\angle C = \angle C_1$. Найдите стороны $AB$ и $A_1B_1$, если их разность равна 3 см.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Согласно условию задачи, даны следующие соотношения:

1. $\frac{BC}{A_1C_1} = \frac{AC}{B_1C_1} = 1.5$

2. $\angle C = \angle C_1$

3. Разность длин сторон $AB$ и $A_1B_1$ равна 3 см.

Для определения подобия треугольников воспользуемся вторым признаком подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Сравним треугольник $ABC$ с треугольником $B_1A_1C_1$. В треугольнике $ABC$ стороны, прилежащие к углу $\angle C$, — это $AC$ и $BC$. В треугольнике $A_1B_1C_1$ стороны, прилежащие к углу $\angle C_1$, — это $A_1C_1$ и $B_1C_1$.

Из условия задачи мы имеем пропорциональность сторон:

$\frac{AC}{B_1C_1} = 1.5$ и $\frac{BC}{A_1C_1} = 1.5$.

Таким образом, стороны $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ пропорциональны сторонам $B_1C_1$ и $A_1C_1$ треугольника $B_1A_1C_1$ с одним и тем же коэффициентом. Также дано, что углы $\angle C$ и $\angle C_1$, заключенные между этими сторонами, равны.

Следовательно, по второму признаку подобия, треугольник $ABC$ подобен треугольнику $B_1A_1C_1$ (обратите внимание на порядок вершин):

$\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1$

Коэффициент подобия $k$ равен 1.5.

Из подобия треугольников следует, что отношение длин их третьих сторон также равно коэффициенту подобия:

$\frac{AB}{B_1A_1} = k = 1.5$

Так как длина отрезка $B_1A_1$ равна длине отрезка $A_1B_1$, мы можем записать:

$\frac{AB}{A_1B_1} = 1.5 \implies AB = 1.5 \cdot A_1B_1$

Из этого соотношения видно, что сторона $AB$ длиннее стороны $A_1B_1$. По условию их разность равна 3 см, поэтому:

$AB - A_1B_1 = 3$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $AB$ и $A_1B_1$:

$\begin{cases} AB = 1.5 \cdot A_1B_1 \\ AB - A_1B_1 = 3 \end{cases}$

Подставим выражение для $AB$ из первого уравнения во второе:

$1.5 \cdot A_1B_1 - A_1B_1 = 3$

$0.5 \cdot A_1B_1 = 3$

Отсюда находим $A_1B_1$:

$A_1B_1 = \frac{3}{0.5} = 6$ см.

Теперь найдем длину стороны $AB$, используя первое уравнение:

$AB = 1.5 \cdot A_1B_1 = 1.5 \cdot 6 = 9$ см.

Проверка: $AB - A_1B_1 = 9 - 6 = 3$ см, что соответствует условию.

Ответ: $AB = 9$ см, $A_1B_1 = 6$ см.

156. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 54$ см, $BC = 42$ см. На стороне $BC$ отложили отрезок $CD$, равный 7 см, а на стороне $AC$ — отрезок $CN$, равный 9 см. Подобны ли треугольники $ABC$ и $NDC$?

156. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 54$ см, $BC = 42$ см. На стороне $BC$ отложили отрезок $CD$, равный 7 см, а на стороне $AC$ — отрезок $CN$, равный 9 см. Подобны ли треугольники $ABC$ и $NDC$?

Для того чтобы определить, подобны ли треугольники $ABC$ и $NDC$, воспользуемся вторым признаком подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $NDC$.

1. У этих треугольников угол $C$ является общим, следовательно, $\angle ACB = \angle NCD$.

2. Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этому углу. Согласно условию, в треугольнике $ABC$ это стороны $AC$ и $BC$, а в треугольнике $NDC$ — стороны $NC$ и $DC$.

Найдем отношение длин соответствующих сторон:

Отношение стороны $AC$ к стороне $NC$:

$\frac{AC}{NC} = \frac{54}{9} = 6$

Отношение стороны $BC$ к стороне $DC$:

$\frac{BC}{DC} = \frac{42}{7} = 6$

Поскольку отношения соответствующих сторон равны ($\frac{AC}{NC} = \frac{BC}{DC} = 6$) и угол $C$ между этими сторонами является общим, то треугольники $ABC$ и $NDC$ подобны по второму признаку подобия.

Ответ: Да, треугольники $ABC$ и $NDC$ подобны.

157. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, изображённые на рисунке 70, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 70

$AB = 12$

$BC = 16$

$AC = 24$

$A_1B_1 = 6$

$B_1C_1 = 8$

$A_1C_1 = 12$

157. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, изображенные на рисунке 70, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 70

$AB = 12$

$BC = 16$

$AC = 24$

$A_1B_1 = 6$

$B_1C_1 = 8$

$A_1C_1 = 12$

Для того чтобы доказать, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, воспользуемся третьим признаком подобия треугольников (по трём сторонам). Согласно этому признаку, два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём соответственным сторонам другого.

Из рисунка известны длины сторон треугольника $ABC$: $AB = 12$ см, $BC = 16$ см, $AC = 24$ см.

Также известны длины сторон треугольника $A_1B_1C_1$: $A_1B_1 = 6$ см, $B_1C_1 = 8$ см, $A_1C_1 = 12$ см.

Чтобы проверить условие пропорциональности, найдём отношения длин соответственных сторон. Соответственными будем считать стороны, сопоставленные по их длинам (наименьшая к наименьшей, средняя к средней, наибольшая к наибольшей).

1. Найдём отношение длин наименьших сторон: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{12}{6} = 2$

2. Найдём отношение длин средних сторон: $\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{16}{8} = 2$

3. Найдём отношение длин наибольших сторон: $\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{24}{12} = 2$

Так как отношения всех трёх пар соответственных сторон равны одному и тому же числу: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = 2$

...то условие третьего признака подобия выполняется. Следовательно, треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1B_1C_1$ ($\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$) с коэффициентом подобия $k=2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, так как их соответственные стороны пропорциональны ($\frac{12}{6} = \frac{16}{8} = \frac{24}{12} = 2$).

158. Подобны ли треугольники, если их стороны равны:

1) 9 см, 10 см, 14 см и 36 см, 40 см, 56 см;

2) 13 см, 11 см, 7 см и 39 см, 33 см, 22 см?

158. Подобны ли треугольники, если их стороны равны:

1) 9 см, 10 см, 14 см и 36 см, 40 см, 56 см;

2) 13 см, 11 см, 7 см и 39 см, 33 см, 22 см?

Два треугольника подобны по третьему признаку подобия (по трем сторонам), если их соответствующие стороны пропорциональны. То есть отношения длин соответствующих сторон должны быть равны.

1) Рассмотрим треугольники со сторонами (9 см, 10 см, 14 см) и (36 см, 40 см, 56 см).
Чтобы проверить пропорциональность сторон, найдем отношения длин соответствующих сторон (наименьшей к наименьшей, средней к средней и наибольшей к наибольшей).
Отношение наименьших сторон: $\frac{36}{9} = 4$.
Отношение средних сторон: $\frac{40}{10} = 4$.
Отношение наибольших сторон: $\frac{56}{14} = 4$.
Так как все отношения равны ($\frac{36}{9} = \frac{40}{10} = \frac{56}{14} = 4$), стороны треугольников пропорциональны. Следовательно, треугольники подобны.
Ответ: да, подобны.

2) Рассмотрим треугольники со сторонами (13 см, 11 см, 7 см) и (39 см, 33 см, 22 см).
Упорядочим стороны каждого треугольника по возрастанию, чтобы найти соответствующие стороны:
Первый треугольник: (7 см, 11 см, 13 см).
Второй треугольник: (22 см, 33 см, 39 см).
Найдем отношения длин соответствующих сторон:
Отношение наименьших сторон: $\frac{22}{7}$.
Отношение средних сторон: $\frac{33}{11} = 3$.
Отношение наибольших сторон: $\frac{39}{13} = 3$.
Так как не все отношения равны ($\frac{22}{7} \neq 3$), стороны треугольников не являются пропорциональными. Следовательно, треугольники не подобны.
Ответ: нет, не подобны.