Номер 155, страница 55 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

155. В треугольниках $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$ $BC : A_1 C_1 = AC : B_1 C_1 = 1,5$, $ \angle C = \angle C_1 $. Найдите стороны $AB$ и $A_1 B_1$, если их разность равна 3 см.

155. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ $BC : A_1C_1 = AC : B_1C_1 = 1,5$, $\angle C = \angle C_1$. Найдите стороны $AB$ и $A_1B_1$, если их разность равна 3 см.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Согласно условию задачи, даны следующие соотношения:

1. $\frac{BC}{A_1C_1} = \frac{AC}{B_1C_1} = 1.5$

2. $\angle C = \angle C_1$

3. Разность длин сторон $AB$ и $A_1B_1$ равна 3 см.

Для определения подобия треугольников воспользуемся вторым признаком подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Сравним треугольник $ABC$ с треугольником $B_1A_1C_1$. В треугольнике $ABC$ стороны, прилежащие к углу $\angle C$, — это $AC$ и $BC$. В треугольнике $A_1B_1C_1$ стороны, прилежащие к углу $\angle C_1$, — это $A_1C_1$ и $B_1C_1$.

Из условия задачи мы имеем пропорциональность сторон:

$\frac{AC}{B_1C_1} = 1.5$ и $\frac{BC}{A_1C_1} = 1.5$.

Таким образом, стороны $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ пропорциональны сторонам $B_1C_1$ и $A_1C_1$ треугольника $B_1A_1C_1$ с одним и тем же коэффициентом. Также дано, что углы $\angle C$ и $\angle C_1$, заключенные между этими сторонами, равны.

Следовательно, по второму признаку подобия, треугольник $ABC$ подобен треугольнику $B_1A_1C_1$ (обратите внимание на порядок вершин):

$\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1$

Коэффициент подобия $k$ равен 1.5.

Из подобия треугольников следует, что отношение длин их третьих сторон также равно коэффициенту подобия:

$\frac{AB}{B_1A_1} = k = 1.5$

Так как длина отрезка $B_1A_1$ равна длине отрезка $A_1B_1$, мы можем записать:

$\frac{AB}{A_1B_1} = 1.5 \implies AB = 1.5 \cdot A_1B_1$

Из этого соотношения видно, что сторона $AB$ длиннее стороны $A_1B_1$. По условию их разность равна 3 см, поэтому:

$AB - A_1B_1 = 3$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $AB$ и $A_1B_1$:

$\begin{cases} AB = 1.5 \cdot A_1B_1 \\ AB - A_1B_1 = 3 \end{cases}$

Подставим выражение для $AB$ из первого уравнения во второе:

$1.5 \cdot A_1B_1 - A_1B_1 = 3$

$0.5 \cdot A_1B_1 = 3$

Отсюда находим $A_1B_1$:

$A_1B_1 = \frac{3}{0.5} = 6$ см.

Теперь найдем длину стороны $AB$, используя первое уравнение:

$AB = 1.5 \cdot A_1B_1 = 1.5 \cdot 6 = 9$ см.

Проверка: $AB - A_1B_1 = 9 - 6 = 3$ см, что соответствует условию.

Ответ: $AB = 9$ см, $A_1B_1 = 6$ см.